unendliche Teilmenge ohne Häufungspunkte finden

21.07.2006, 17:46

limes007

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unendliche Teilmenge ohne Häufungspunkte finden

Hallo.

Aufgabe:

M = {(x,y) \in \mathbb R : x^2 + y^2 < 1}

Gibt es eine unendliche Teilmenge von M ohne Häufungspunkte in M?

Leider weiß ich hier nicht wie ich das lösen soll, es ist eine Prüfungsaufgabe gewesen und man sollte die Lösung begründen.

Wäre nett wenn ihr mir helfen könntet smile

smile

Mfg

21.07.2006, 17:57

AD

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Zitat:

Original von limes007
Aufgabe:

M = {(x,y) \in \mathbb R : x^2 + y^2 < 1}

Gibt es eine unendliche Teilmenge von M ohne Häufungspunkte in M?

Ja, die gibt es. Und als Hinweis: In der Abschließung

$\begin{eqnarray*} \overline{M} = \{ (x,y) \in \mathbb R : x^2 + y^2 \leq 1 \} \end{eqnarray*}$

gibt es eine solche unendliche Teilmenge nicht.

21.07.2006, 19:22

limes007

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Also muss es eine Teilmenge von M sein, die den Häufungspunkt 1 hat, da 1 nicht in M liegt?

z.B.:
$\begin{eqnarray*} M = {(x,y): x^2 + y^2 = 1} \end{eqnarray*}$ ?

21.07.2006, 19:29

Leopold

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Erstens ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ in der Aufgabe vorgegeben, du kannst daher $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nicht noch einmal neu und anders festlegen. Zweitens ist die von dir angegebene Menge keine Teilmenge des vorgegebenen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Richtig ist aber, daß du mit einer Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , die nur den Häufungspunkt 1 (oder einen anderen Punkt des Kreisrandes) hat, am Ziel bist.

EDIT: Aussage präzisiert

21.07.2006, 19:30

JochenX

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was hat diese Menge M (die genauso heißt, wie deine Menge M oben, allerdings Ms Rand ist!?) mit einer Folge zu tun?

Wähle doch eine Folge in M, die konvergiert (somit insgesamt nur einen HP in IR^2 hat), deren Grenzwert aber nicht in M liegt (und somit auch der HP nicht); das kannst du tun, da M nicht abgeschlossen ist.
Wähle also eine Folge, deren Grenzwert auf dem Rand von M liegt.

21.07.2006, 19:39

WebFritzi

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Zitat:

Original von LOED
was hat diese Menge M (die genauso heißt, wie deine Menge M oben, allerdings Ms Rand ist!?) mit einer Folge zu tun?

Gar nichts. Die gefragte Menge muss auch nichts mit Folgen zu tun haben. Es gibt nicht nur Häufungspunkte von Folgen, sondern auch Häufungspunkte von Mengen.

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21.07.2006, 20:51

limes007

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Hmm jetzt bin ich irgendwie total verwirrt, ich denke ich soll eine Teilmenge finden und keine Folge?!?

Kann ich dann nicht einfach sowas wie
$\begin{eqnarray*} M' = {(x,y): 1 < x^2 + y^2 < 2} \end{eqnarray*}$

hernehmen, dann müsste doch die Menge der Häufungspunkte ausserhalb des Radius von M und innerhalb 2 liegen und damit hat diese Teilmenge Häufungspunkte die nicht zu M gehören, weil doch sonst $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 < 1 \end{eqnarray*}$ nicht mehr erfüllt wäre oder sehe ich das falsch?

21.07.2006, 21:13

WebFritzi

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Denk mal drüber nach, ob dein M' auch wirklich eine Teilmenge von M ist...

Es ist sooo einfach. Nimm dir eine Folge aus M, die konvergiert - und zwar gegen einen Punkt, der nicht in M liegt. Dann ist die gesuchte Menge einfach die Menge aller Punkte deiner Folge.

21.07.2006, 21:31

limes007

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Sorry, aber jetzt weiß ich grad überhaupt nich mehr wo oben und unten ist Tanzen

Tanzen

Also ich soll mir ne Folge a_n suchen, die gegen einen bestimmten Grenzwert konvergiert, der nicht in M liegt?
Keine Ahnung aber, wie sähe so eine Folge dann aus?
Ich stehe gerade völlig auf der Leitung, sorry

21.07.2006, 22:01

WebFritzi

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Zitat:

Original von limes007
Keine Ahnung aber, wie sähe so eine Folge dann aus?

Musterlösungen gibt's hier nicht.

22.07.2006, 01:03

Ben Sisko

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Zitat:

Original von limes007
Also ich soll mir ne Folge a_n suchen, die gegen einen bestimmten Grenzwert konvergiert, der nicht in M liegt?
Keine Ahnung aber, wie sähe so eine Folge dann aus?

Hast doch quasi schon eine Konstruktionsanweisung da stehen.

Tipp: Der Grenzwert muss "natürlich" nah dran sein an M, damit eine Folge, die in M liegt (alle Folgenglieder aus M) dagegen konvergieren kann.
Was ist denn nah an M (so dass es näher nicht geht Augenzwinkern

Augenzwinkern

)?

Hilft das?

Gruß vom Ben

22.07.2006, 09:20

sarsel

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tipp: die folge $\begin{eqnarray*} 1 \over n \end{eqnarray*}$ konvergiert in der menge $\begin{eqnarray*} M=[1,0), \end{eqnarray*}$ ihr grenzwert 0 liegt nicht in M.

22.07.2006, 11:58

limes007

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Da $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 < 1 \end{eqnarray*}$ nehm ich mir einfach die Folge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2 + y^2} \end{eqnarray*}$ her, die letztendlich gegen 1 konvergiert, aber 1 liegt anscheinend nicht in M oder?

Wie schreib ich dann die Menge auf?
$\begin{eqnarray*} M' = \{\frac{1}{x^2 + y^2}\} \end{eqnarray*}$ ?

22.07.2006, 12:19

Leopold

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Deine Fragen und Vorschläge deuten darauf hin, daß du nicht die geringste Ahnung hast, worum es überhaupt geht. Ich vermute, daß dir nicht einmal bewußt ist, daß mit $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 < 1 \end{eqnarray*}$ das Innere eines Kreises beschrieben wird. Helfen können wir hier aber nur, wenn gewisse Mindestvoraussetzungen beim Fragenden vorliegen. Du solltest dich daher zuvor um diese Grundlagen kümmern und gegebenenfalls deine Fragen daraufhin ausrichten.

22.07.2006, 12:25

abdullaziz

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1/ x*x + y*y konvergiert gegen 1 M € (1, + unendlich]

22.07.2006, 13:39

limes007

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Zitat:

Original von Leopold
Deine Fragen und Vorschläge deuten darauf hin, daß du nicht die geringste Ahnung hast, worum es überhaupt geht. Ich vermute, daß dir nicht einmal bewußt ist, daß mit $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 < 1 \end{eqnarray*}$ das Innere eines Kreises beschrieben wird. Helfen können wir hier aber nur, wenn gewisse Mindestvoraussetzungen beim Fragenden vorliegen. Du solltest dich daher zuvor um diese Grundlagen kümmern und gegebenenfalls deine Fragen daraufhin ausrichten.

Naja die Punkte der Menge M liegen innerhalb eines Kreises mit dem Radius 1 um den Nullpunkt oder? Nur dass die einzelnen Punkte (x,y) quadriert und zusammenaddiert nicht größer gleich eins sein dürfen, z.B.
wäre ja dann (0,5 , 0,6) ein gültiger Punkt aus M, wobei z.B. (1, 0) nicht mehr?

Und nun soll ich ne Teilmenge von M suchen, die Punkte aus M (also Punkte innerhalb des Kreises) enthält, aber gegen einen Häufungspunkt konvergiert, der nicht in M liegt, z.B. gegen den Punkt (x_0, y_0)?

z.B. $\begin{eqnarray*} M' = \{( \frac{n - 1}{n}, \frac{1}{n + 2})\} \end{eqnarray*}$

würde gegen (1, 0) konvergieren, wenn n immer größer wird? Hammer

Hammer

Edit: LaTeX. Ben

22.07.2006, 15:47

Ben Sisko

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Zitat:

Original von limes007
Naja die Punkte der Menge M liegen innerhalb eines Kreises mit dem Radius 1 um den Nullpunkt oder? Nur dass die einzelnen Punkte (x,y) quadriert und zusammenaddiert nicht größer gleich eins sein dürfen, z.B.
wäre ja dann (0,5 , 0,6) ein gültiger Punkt aus M, wobei z.B. (1, 0) nicht mehr?

Richtig.

Zitat:

Original von limes007
Und nun soll ich ne Teilmenge von M suchen, die Punkte aus M (also Punkte innerhalb des Kreises) enthält, aber gegen einen Häufungspunkt konvergiert, der nicht in M liegt, z.B. gegen den Punkt (x_0, y_0)?

z.B. $\begin{eqnarray*} M' = \{( \frac{n - 1}{n}, \frac{1}{n + 2})\} \end{eqnarray*}$

würde gegen (1, 0) konvergieren, wenn n immer größer wird? Hammer

Hammer

Auch richtig Freude

Freude

Noch einfacher wäre vielleicht gewesen: $\begin{eqnarray*} a_n=(1-\frac{1}{n},0), n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Beachte aber, dass du eine Folge angibst, deren Glieder in M liegen. Das scheint dir nicht bewusst zu sein (Schreibweise M'={ }).

Gruß vom Ben

22.07.2006, 17:13

limes007

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Ok.
Dann danke ich euch für eure Bemühungen und eure Hilfe Gott

Gott

Schöne Grüße

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