Endlich - unendlich |
| 21.07.2006, 18:06 | gessi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Endlich - unendlich Wir hatten (Un-)Endlichkeit bei Gruppen und Vektorräumen. Unser Prof meinte heute, dass so etwas in der Klausur drankommen könnte, z.B. die Frage, was der Unterschied zwischen endlich und unendlich ist. Ich find die Frage irgendwie seltsam... vielleicht kann ich mir ja grad auch nichts drunter vorstellen. Zur Beispielfrage: Ich weiß natürlich, dass es Sätze gibt, die nur in endlichdimensionalen Vektorräumen gelten und nicht in unendlichen oder dass man jedes Element aus einem VR mit unendlicher Basis als Linearkombination von endlich vielen darstellen kann. Aber das kann doch wohl kaum die Antwort auf die Frage sein, oder? Wär super, falls jemandem da was einfällt und er mir helfen kann. |
||||||
| 21.07.2006, 18:26 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Endlich - unendlich
Wo steht das denn? |
||||||
| 21.07.2006, 18:30 | papahuhn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Endlich - unendlich
http://de.wikipedia.org/wiki/Linearkombination |
||||||
| 21.07.2006, 18:34 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nö, das steht da nicht! |
||||||
| 21.07.2006, 18:41 | papahuhn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich gebe zu, das steht da nicht explizit. Aber eine Linearkombination ist immer endlich auch wenn der Vektorraum unendlichdimensional ist. |
||||||
| 21.07.2006, 18:44 | brunsi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich glaube hier wird mehr ein mathematischer Beweis verlangt. Also sinngemäß könnt ich das sicherlich an einem ökonomischen Beispiel erklären (vorausgesetzt ich habs selbst richtig verstanden!!), aber wie muss der Beweis mathematisch lauten?? |
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 21.07.2006, 19:36 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für einen Beweis bedürfte es zunächst einmal einer sinnvollen Aussage, die es zu beweisen gilt. Momentan sehe ich da nur wischiwaschi. |
||||||
| 21.07.2006, 19:42 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Endlich - unendlich
Ich denke mal, er/sie meint: dass man jedes Element aus einem VR mit unendlicher Basis als Linearkombination von endlich vielen Basiselementen darstellen kann. papahuhn hat die "Aussage" einfach mal komplett falsch verstanden. |
||||||
| 21.07.2006, 19:55 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In der Tat kommt es hier auf Präzision an. Natürlich kann man jedes Element eines unendlich-dimensionalen Vektorraums als Linearkombination irgendwelcher endlich vieler Basiselemente schreiben. Das ist ja gerade die Erzeugendeneigenschaft. Andererseits kann man dann nicht jedes Element als Linearkombination fester endlicher vieler Basiselemente schreiben. Das stünde ja gerade im Gegensatz zur Dimension unendlich. Wie auch immer, ich bleibe dabei: Ein präzise (von mir aus auch falsche) Aussage muß her. Dann kann man auch vernünftig darüber sprechen. |
||||||
| 21.07.2006, 23:14 | gessi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Diese Diskussion wollte ich eigentlich nicht auslösen... Ich hab den Satz unpräzise formuliert (ich meinte natürlich "endlich viele Basiselemente[, wobei das nicht immer die gleichen sind]), es ging ja nur ums Prinzip, ob sowas mit der Frage gemeint sein kann. Aber nachdem sich hier eine Diskussion über diesen Satz entwickelt hat, möchte ich doch noch mal auf meine ursprüngliche Frage hinweisen 
|
||||||
| 21.07.2006, 23:38 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tschuldigung, dass ich mal nachhake, da bin ich letztens ins Stocken geraten. Ist die Menge der formalen Potenzreihen über einem Körper K (mit den üblichen Verknüpfungen und der üblichen Schreibweise) ein Vektorraum? Ist eine Basis? Ist Elemente des Vektorraumes oder nicht? |
||||||
| 22.07.2006, 01:38 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was soll denn das sein? ? Was bedeutet denn dann der Limes? Soll heißen: Was ist deine Topologie? |
||||||
| 22.07.2006, 02:16 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wer hat etwas von Topologie gesagt? Es ging um formale Potenzreihen als Vektorraum, seit wann brauchen VRme Topologien, um VRme zu sein? Wenn dir die Schreibweise mit den X-Potenzen nicht passt, dann steige ich gerne auf eine andere Schreibweise um: Der Vektorraum der Folgen über dem Körper K (dieser ist isomorph zum Potenzreihenraum, wenn mich nicht alles täuscht): Meine Elemente sind nun also "unendliche Tupel" der Form (a0, a1, a2,....). Addition und Multiplikation mit Körperelementen Komponentenweise. Eine Basis ist dann (analog zum PotenzreihenVektorraum): {(1,0,0,0,...), (0,1,0,0,....), (0,0,1,0,....) usf.}. Frage: Ist das ein VRm? wenn nein: warum nicht? wenn ja: wie stellt man das Element "konstante Folge 1" aus einer endlichen Linkomb der Basisvektoren dar? da das offensichtlich nicht geht, folgt dann, dass das Element nicht im Raum liegt!? edit: http://de.wikipedia.org/wiki/Formale_Potenzreihe |
||||||
| 22.07.2006, 06:59 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Woraus man wohl schließen muß, daß keine Basis ist, denn die Reihe kann offenbar nicht als Linearkombination bezüglich geschrieben werden. ist lediglich Basis des Unterraums der Polynome. Ich vermute, daß es nicht möglich ist, eine Basis des Vektorraums der formalen Potenzreihen konstruktiv anzugeben. |
||||||
| 22.07.2006, 09:40 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aha. Kennt nicht jeder, würde ich sagen...
|
||||||
| 22.07.2006, 11:32 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das macht dann wohl am ehesten Sinn. Danke. Irgendwie verwirrend. Irgendwie vermute ich, dass man beweisen kann, dass es zu jeder beliebigen Basis und jeder natürlichen Zahl n (beliebig groß) einen Vektor gibt, der "mehr als n Basisvektoren" braucht. Das sollte nicht mal schwer sein, wenn man die ersten n Komponenten als Polynom betrachtet. Daraus folgt also, dass die Summen beliebig groß werden müssen, sie bleiben aber immer endlich (und das Gegenteil kann man dann wohl nicht zeigen). Verwirrt mich jetzt, aber deine Argumentation nehme ich hin (da das wohl tatsächlich das naheliegendste ist und ich dich leider nicht bitten kann, dann eine andere Basis anzugeben
).@WebFritzi: ja, Entschuldigung, auch die freche Schreibweise mit "dem unendlichen Polynom" war dann natürlich nicht gut gewählt und konnte schnell zu weiteren Missverständnissen führen. |
||||||
| 22.07.2006, 11:40 | gast1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist völlig trivial, man nimmt einfach die Summe von n+1 paarweise verschiedenen Basisvektoren. Mich würde aber interessieren, warum es ohne Auswahlaxiom keine Basis für (darüber reden wir ja eigentlich, das als formale Potenzreihen zu schreiben war sehr unnötig; das ist nur sinnvoll, wenn man die Ringstruktur darauf betrachtet) angeben kann. Das dürfte ja die präzise Formulierung davon sein, dass man keine Basis "konstruktiv" angeben kann. Wie beweist man so etwas? Gruß gast1 |
||||||
|
|
