Stetige Funktion konstruieren ...

21.07.2006, 18:43

Zebra

Stetige Funktion konstruieren ...

Ich sitze hier vor einer Aufgabe, die mich verzweifeln läßt. Ich habe keinen blassen Schimmer was ich machen soll:

Gegeben sei $\begin{eqnarray*} f: G \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x_0 \in G \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_0) + <a,x-x_0> + R(x) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \frac{R(x)}{|x-x_0|} \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to x_0 \end{eqnarray*}$ .

Konstruieren Sie eine in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetige Funktion $\begin{eqnarray*} \Delta : G \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_0) + <\Delta(x), x-x_0> \end{eqnarray*}$

Kann mir da jemand einen Hinweis geben wo ich anfange?

21.07.2006, 20:58

WebFritzi

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Man, das ist echt schwer... Mir fällt erstmal nur sowas ein wie
$\begin{eqnarray*} \Delta(x) = a + \frac{R(x)}{n}\begin{pmatrix}(x_1 - x_{01})^{-1}\\ \vdots\\ (x_n - x_{0n})^{-1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Aber das Ding ist ja nichtmal für x_j = x_{0j} definiert. Keine Ahnung... traurig

21.07.2006, 21:07

WebFritzi

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Uff... Ich hab's:

$\begin{eqnarray*} \Delta(x) = a + R(x)\frac{x - x_0}{\|x - x_0\|^2}. \end{eqnarray*}$

Deine Aufgabe besteht jetzt noch darin, zu zeigen, dass das Ding auch stetig ist...

21.07.2006, 23:03

Zebra

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Mit deinem $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ ist dann:

$\begin{eqnarray*} f(x_0) +<a + R(x) \frac{x-x_0}{|x-x_0|^2} ,x-x_0> = f(x_0) +<a ,x-x_0> + <R(x) \frac{x-x_0}{|x-x_0|^2} ,x-x_0> = f(x_0) +<a ,x-x_0> + R(x) \frac{(x-x_0)^2}{|x-x_0|^2} = f(x) \end{eqnarray*}$
Paßt also.

Und die Stetigkeit:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \left( a + R(x) \frac{x-x_0}{|x-x_0|^2} \right) = \lim_{x \to x_0} \left( a + 0 \cdot \frac{x-x_0}{|x-x_0|} \right) = a \end{eqnarray*}$

Also kann $\begin{eqnarray*} \Delta(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig fortgesetzt werden durch $\begin{eqnarray*} \Delta(x_0)=a \end{eqnarray*}$

Und die Funktion hast du in 9 Minuten gefunden ... schon verrückt Gott

21.07.2006, 23:07

Zebra

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Ps: Das letzte "= a" gilt ja, weil es in der Klammer nur die beiden Fälle gibt:

(i) $\begin{eqnarray*} a + 0 \cdot (1) = a \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} a + 0 \cdot (-1) = a \end{eqnarray*}$

Insbesondere teilt man nicht durch 0.

22.07.2006, 01:57

WebFritzi

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Nein, nein, nein. Das ist nicht gut. Deine Begründungen sind oft grottenfalsch. Erstens: (x - x0)² gibt es nicht! Das sind Vektoren. Die kann man doch nicht miteinander multiplizieren. OK, mit dem Skalarprodukt. Aber dann schreibt man nicht (x - x0)², sondern <x - x0,x - x0>. Oder halt |x - x0|².
Auch deine Limesbetrachtungen sind völliger Humbuk. Der letzte Grenzwert z.B. existiert gar nicht. Es geht so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \left( a + R(x) \frac{x-x_0}{|x-x_0|^2} \right) = a + \lim_{x \to x_0} \frac{R(x)}{|x - x_0|} \frac{x-x_0}{|x-x_0|} = a, \end{eqnarray*}$

denn im letzten Limes ist rechte Faktor beschränkt, und R(x)/|x - x0| konvergiert ja gegen Null. Und nochmal: die x'e sind i.a. Vektoren! Keine Zahlen - also auch nicht 1 oder -1.

Zitat:

Original von Zebra
Und die Funktion hast du in 9 Minuten gefunden ... schon verrückt Gott

Nein, vor dem Beitrag, den ich zuvor geschrieben hatte, hatte ich schon mindestens eine halbe Stunde lang gegrübelt...

22.07.2006, 11:03

Zebra

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Oh weh, ich habe echt alles als Zahlen betrachtet.
Aber dann verstehe ich noch nicht, warum der rechte Faktor im letzten Limes beschränkt ist. Kann mir das vielleicht jemand kurz erklären, dann höre ich auf zu nerven.
Danke!

22.07.2006, 22:49

WebFritzi

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Na, der Betrag ist doch immer 1.

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