Vollständige Induktion Binomialkoeffiezent

17.10.2008, 13:51

eierkopf1

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Vollständige Induktion Binomialkoeffiezent

Hallo!

Ich soll folgendes Beispiel lösen und ich dachte, das funktioniert mit "Vollständiger Induktion".

"Man beweise für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ (-1)^k k^2 = (-1)^n \binom {n+1} 2 \end{eqnarray*}$ "

Mein Ansatz:
Zuerst zeige die Induktionsbasis:

n=1 eingesetzt:

-1 = -1

Dann die Induktionsannahme
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ (-1)^k k^2 = (-1)^n \binom {n+1} 2 \end{eqnarray*}$

Dann die Induktionsbehauptung
Das ist zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~ (-1)^k k^2 = (-1)^{n+1} \binom {n+2} 2 \end{eqnarray*}$

Jetzt geht das Zeigen los:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~ (-1)^k k^2 =\sum_{k=1}^n~ (-1)^k k^2 + (-1)^{n+1} \cdot (n+2)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(-1)^n \cdot \binom {n+1} 2 + (-1)^{n+1} \cdot (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich nicht mehr weiter. Was mache ich mit dem Binomialkoeffizienten?

Danke schon mal für die Hilfe.

mfg

17.10.2008, 13:54

marci_

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setzte doch mal in die defintion ein, dann kannst du einiges kürzen!

17.10.2008, 14:07

eierkopf1

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Danke für die Antwort!

Du meinst da n nicht negativ sein kann, kann ich in diese Definition einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \binom n k = \frac{n!}{ k! \cdot (n-k) !} \end{eqnarray*}$

Für mein Bsp dann:

$\begin{eqnarray*} \binom {n+1} 2 = \frac{(n+1)!}{ 2! \cdot (n-1) !} \end{eqnarray*}$

Dann zurück eingesetzt und auf gemeinsamen Nenner gebracht:
$\begin{eqnarray*} \frac { (-1)^n \cdot (n+1)! + (-1)^{n+1} \cdot (n+1)^2 \cdot 2! \cdot (n-1)! } {2! \cdot (n-1)!} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich hier was kürzen bzw. wie gehts weiter?

mfg

17.10.2008, 15:28

klarsoweit

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Klammere aus dem Zähler $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ aus und erweitere den Bruch mit n.

17.10.2008, 15:38

eierkopf1

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OK

$\begin{eqnarray*} \frac { (-1)^{n+1} ( (-1)^{-1} \cdot (n+1)! + 1 \cdot (n+1)^2 \cdot 2! \cdot (n-1)!) } {2! \cdot (n-1)!} \end{eqnarray*}$

dann mit n erweitert:
$\begin{eqnarray*} \frac { n \cdot (-1)^{n+1} ( - (n+1)! + (n+1)^2 \cdot 2! \cdot (n-1)!) } {n \cdot 2! \cdot (n-1)!} \end{eqnarray*}$

Irgendwie kann ich noch immer nichts kürzen bzw. ich sehe nichts, was ich kürzen kann. verwirrt

verwirrt

Was mach ich mit diesen Fakultäten?

mfg

17.10.2008, 15:49

klarsoweit

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Das n solltest du natürlich in die Klammer reinziehen bzw. das $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ vor den Bruch stellen. Und das Fakultät-Zeichen hinter 2 kannst du dir auch sparen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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17.10.2008, 15:57

eierkopf1

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$\begin{eqnarray*} =(-1)^{n+1} \cdot \frac { -n(n+1)!+ n(n+1)^2 \cdot 2 \cdot (n-1)! } {n \cdot 2 \cdot (n-1)!} \end{eqnarray*}$

So siehts dann aus. Aber ich kann noch immer nichts kürzen. Kann ich $\begin{eqnarray*} -n(n+1)! \end{eqnarray*}$ das irgendwie zusammenziehen?

mfg

17.10.2008, 16:02

klarsoweit

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Also noch ein wenig Händchen halten:

Was ist denn n * (n-1)! bzw. (n+1 ) * n * (n-1)! ?

17.10.2008, 16:07

eierkopf1

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Das ist mein Problem!

Ich weiß es nicht unglücklich

unglücklich

17.10.2008, 16:12

tigerbine

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Bis klarsoweit wiederkommt...
Fakultät unbekannt?

17.10.2008, 16:19

eierkopf1

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Danke sehr. Ich wusste schon was Fakultät ist. Aber das hatte ich nicht gewusst: $\begin{eqnarray*} n! = (n-1)! \cdot n \end{eqnarray*}$
(Was aber ganz logisch ist)

$\begin{eqnarray*} =(-1)^{n+1} \cdot \frac { -n(n+1)!+ (n+1)^2 \cdot 2 \cdot n! } {2 \cdot n!} \end{eqnarray*}$

Aber kürzen kann ich noch immer nicht unglücklich

unglücklich

17.10.2008, 16:22

tigerbine

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Zitat:

Original von eierkopf1
$\begin{eqnarray*} n! = (n-1)! \cdot n \end{eqnarray*}$

Warum benutzt du das dann nicht... verwirrt

verwirrt

Völlig überraschender Weise gilt dann ja auch

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = n! \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

17.10.2008, 16:34

eierkopf1

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OK.

Ist die obige Aussage falsch?

17.10.2008, 16:38

tigerbine

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Erstaunt2

Ich wollte eigentlich nur die Fakultät erklären, bis klarsoweit wieder da ist, da du noch on warst. Welche Aussage meinst du, und wie sieht nun der gekürzte Bruch aus?

17.10.2008, 17:21

AD

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Ob wohl der Aufgabensteller diese Odyssee geahnt hat, als er die Aufgabe so wie oben und damit nicht über das nur unwesentlich längere

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n ~ (-1)^k k^2 = (-1)^n \cdot \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

formuliert hat? Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.10.2008, 17:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von eierkopf1
Aber kürzen kann ich noch immer nicht unglücklich

unglücklich

Warum willst du immer kürzen? verwirrt

verwirrt

Wir haben doch den Bruch bald soweit, daß da $\begin{eqnarray*} \binom{n+2}{2} \end{eqnarray*}$ da steht.

Arthur Dent hat natürlich recht. Aber etwas Fakultät üben, kann ja auch nicht schaden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.10.2008, 09:39

eierkopf1

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Danke an alle Antworten!

Ja, dass mit der Fakultätenübung ist super smile

smile

Wenn ich nicht kürzen soll, dann steht es jetzt so dar:
$\begin{eqnarray*} = (-1)^{n+1} \cdot \frac {-n(n+1) \cdot n! + (n+1)^2 \cdot 2 \cdot n! } {2 n!} \end{eqnarray*}$

Nenner steht schon richtig da.
Aber der Zähler sollte auf $\begin{eqnarray*} (n+2)! \end{eqnarray*}$ umgeformt werden.

Wie mache ich das?

mfg

18.10.2008, 14:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von eierkopf1
Wenn ich nicht kürzen soll, dann steht es jetzt so dar:
$\begin{eqnarray*} = (-1)^{n+1} \cdot \frac {-n(n+1) \cdot n! + (n+1)^2 \cdot 2 \cdot n! } {2 n!} \end{eqnarray*}$

Wie bist du jetzt darauf gekommen? verwirrt

verwirrt

Eigentlich hatten wir doch das mal:
$\begin{eqnarray*} =(-1)^{n+1} \cdot \frac { -n(n+1)!+ (n+1)^2 \cdot 2 \cdot n! } {2 \cdot n!} \end{eqnarray*}$

Auf den 2. Summanden im Zähler kannst du $\begin{eqnarray*} (n+1)! = n! \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$ anwenden. Dann kannst du (n+1)! ausklammern.

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