Beweis Zufallsvariablen

22.07.2006, 13:08	swerbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Zufallsvariablen Hallo liebe Board-Member, ich habe folgendes Problem: $\begin{eqnarray} \overline{X}_2 \end{eqnarray}$ sei ein einfaches Stichprobenmittel vom Umfang 2 aus einer normalverteilten Grundgesamtheit mit den Parametern $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} 2 \cdot \overline{X}_2 \sim N(\mu_{X_1} + \mu_{X_2}, \sigma_{X_1}^2 + \sigma_{X_2}^2) \end{eqnarray}$ Bisher habe ich mir überlegt: Da es eine einfache (Zufalls-)stichprobe ist, ist $\begin{eqnarray} (X_1,X_2) \end{eqnarray}$ unabhängig und identisch verteilt. Da $\begin{eqnarray} (X_1,X_2) \end{eqnarray}$ aus einer normalverteilten Grundgesamtheit stammt gilt nach einem weiteren Satz: $\begin{eqnarray} \overline{X}_2 \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{2}) \end{eqnarray}$ . Trivialerweise gilt natürlich auch folgendes: $\begin{eqnarray} \overline{X}_2 = \frac{1}{2}(X_1 + X_2) \end{eqnarray}$ Ich habe nun Probleme, diese Sachverhalte miteinander zu verbinden. Könnte mir vielleicht jemand einen Tipp für den Anfang des Beweises geben... Gruß swerbe
22.07.2006, 13:37	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Zufallsvariablen Hi swerbe! Seien $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ Zufallsvariable. Dann gilt für den Erwartungswert $\begin{eqnarray} E(X+Y)=E(X)+E(Y) \end{eqnarray}$ (Stichwort: Linearität des Erwartungswerts, Integral!). Für die Varianz gilt: $\begin{eqnarray} Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y) \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ stochastisch unabhängig sind, ist $\begin{eqnarray} Cov(X,Y) = 0 \end{eqnarray}$ . Der Beweis ergibt sich durch direktes Nachrechnen mit der Definition $\begin{eqnarray} Var(X)=E(X-E(X))^2 \end{eqnarray}$ . Gruss yeti
22.07.2006, 13:47	swerbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo yeti777, vielen dank für die schnelle antwort, werde es gleich mal ausprobieren...
22.07.2006, 14:14	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi swerbe! Vielleicht war ich beim Beweis der Formel für den Erwartungswert etwas kryptisch. Also, was ich meinte ist, dass du auf die Definition des Erwartungswertes $\begin{eqnarray} E(X) := \int X dP \end{eqnarray}$ zurückgreifen und dann aus der Linearität des Integrals diejenige des Erwartungswerts folgern solltest. Gruss yeti
22.07.2006, 15:33	swerbe	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo yeti777 nochmal, also dein Tipp war für mich ,,goldrichtig''. Ich verstehe selber nicht, warum ich nicht auf die Zerlegungssätze gekommen bin...naja eben ein Brett vor dem Kopf Den Beweis habe ich (wie ich meine) mittlerweile hinbekommen...danke nochmals gruß swerbe

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