Mengen

17.10.2008, 22:28

Martin15

Mengen

Seien A,B Mengen. Dann sind gleichwertig:

a) $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} A\cap B = A \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} A\cup B=B \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} A\setminus B=\phi \end{eqnarray*}$

Ich zeige zuerst das:
Aus a) folgt b)
" $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ "
Sei $\begin{eqnarray*} x\in A\cap B \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ , damit ist $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$
Muss man das eigentlich zeigen? Alleine aus der definition heraus ist das doch trivial oder nicht?

" $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ "
Sei $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ , dann ist wegen $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} x\in A\cap B \end{eqnarray*}$

Wie ist meine Art den Beweis zu formulieren? Korrekt? Oder habe ich was vergessen und gehe das verkehrt an? Ich beweise zum erstenmal so richtig und weiß nicht unbedingt wie das geht.

17.10.2008, 22:33

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ist korrekt, jetzt den Rest noch smile

17.10.2008, 22:42

Martin15

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, aus b) folgt c)
" $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ "
Sei $\begin{eqnarray*} A\cup B\subseteq B \end{eqnarray*}$ ist trivial.
" $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ "
Sei $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ , dann ist wegen $\begin{eqnarray*} A\cap B=A\Rightarrow x\in A \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} x\in A\cup B \end{eqnarray*}$ .
So richtig?

17.10.2008, 22:47

Martin15

Auf diesen Beitrag antworten »

Ne das erste ist garnicht so trivial, das zweite ist trivial...
Beim ersten muss ich meine Voraussetzung anwenden.

Also sei $\begin{eqnarray*} x\in A\cup B\Rightarrow x\in A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ , dann gilt wegen $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ woraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ ist.
So müsste es richtig sein Augenzwinkern

17.10.2008, 22:48

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Martin15
Ok, aus b) folgt c)
" $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ "
Sei $\begin{eqnarray*} A\cup B\subseteq B \end{eqnarray*}$ ist trivial.

Besonders am Anfang solltest du trivial meiden! Insbesondere wenn es nicht trivial ist, diese Richtung ist der schwere Teil

Zitat:

" $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ "
Sei $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ , dann ist wegen $\begin{eqnarray*} A\cap B=A\Rightarrow x\in A \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} x\in A\cup B \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ wird gar nicht benötigt, deswegen ist $\begin{eqnarray*} B \subset A \cup B \end{eqnarray*}$ trivial

17.10.2008, 22:50

Martin15

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe es oben verbessert, kannst du dir das angucken?

17.10.2008, 22:53

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Martin15 dann gilt wegen $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$

Das ist aber nicht deine Vorrausetzung, du zeigst doch b) => c) nicht a) => c).
Für das zweite ist der Beweis aber ok Augenzwinkern

17.10.2008, 22:55

Martin15

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, dann kann ich aber schreiben, wegen $\begin{eqnarray*} A\cap B=A \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ und somit ....
den Beweis dann weiterführen.

17.10.2008, 22:57

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann musst du aber davor noch b) => a) zeigen Augenzwinkern

17.10.2008, 23:04

Martin15

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann fang ich nochmal an:
Sei $\begin{eqnarray*} x\in A\cup B\Rightarrow x\in A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ , wegen $\begin{eqnarray*} A\cap B=A \end{eqnarray*}$ folgt aus $\begin{eqnarray*} x\in A\Rightarrow x\in B \end{eqnarray*}$ und somit ist $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ verwirrt

17.10.2008, 23:07

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja passt, damit hast du b) => c) und implizit auch b)=>a) gezeigt

17.10.2008, 23:07

Martin15

Auf diesen Beitrag antworten »

Beziehungsweise, kann man das noch weiterführen... Ich mach mal bei "und somit" weiter.
und somit gilt für $\begin{eqnarray*} x\in A\cup B\Rightarrow x\in B \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ womit $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ ist.

17.10.2008, 23:15

Martin15

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ein anderer Beweis.
Für zwei Mengen A,B sind gleichwertig:

a) $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} P(A)=P(B) \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} A\times A=B\times B \end{eqnarray*}$

Ich fang mal bei aus a) => b)
" $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ "
$\begin{eqnarray*} x\in P(A)\Rightarrow x\in A \end{eqnarray*}$ , wegen $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$ gilt, $\begin{eqnarray*} x\in B\Rightarrow x\in P(B) \end{eqnarray*}$ verwirrt

" $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ "
$\begin{eqnarray*} x\in P(B)\Rightarrow x\in B \end{eqnarray*}$ , wegen $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$ gilt, $\begin{eqnarray*} x\in A\Rightarrow x\in P(A) \end{eqnarray*}$

17.10.2008, 23:19

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt nicht, du meinst wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} x\in P(A) \Rightarrow x \subset A \end{eqnarray*}$ und dann folgt auch $\begin{eqnarray*} x \subset B \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$

17.10.2008, 23:20

Martin15

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das meinte ich Augenzwinkern

Danke

Neue Frage »

Antworten »

Mengen

Verwandte Themen