Verbesserte Primzahl-Vermutung

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akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »
Verbesserte Primzahl-Vermutung
Wie sich einige von euch noch erinnern, habe ich damals eine Vermutung über Folgen und Primzahlen aufgestellt (wer sich nicht dran erinnert, sehe hier nach).

Ich möchte mich hiermit für die fehlerhafte Vermutung entschuldigen und habe mich einen weiteren Monat mit der Vermutung beschäftigt, wobei ich alte Teile der Vermutung gestrichen, jedoch aber neue Vermutungen hinzugefügt habe.

Hier der neue Stand der Kenntnisse:

Es sei gegeben die parametrische Funktion mit ( sei hier die Menge aller Primzahlen) und .

Zudem ordnet die Funktion jedem das kleinste , für welches gilt .

Mit der Funktion wird jedem der kleinste prime Wert zugeordnet, den annimmt, also .

Meine neuen Vermutungen lauten wie folgt:

1.: Für jedes existiert ein , und somit auch ein .

2.: Es gilt stets: .
(WIDERLEGT!)

3.: Es gilt stets: .
(BEWIESEN!)

4.: Für jedes gilt .
(BEWIESEN!)

Die vierte Vermutung ist es mir schon zu beweisen gelungen, da sie auf elementarer Basis beweisbar ist, mit den anderen drei Vermutungen verhält es sich allerdings nicht so.
Bis zu Werten von 43 konnte ich die Vermutung mit meinem GTR nachweisen, bei höheren Werten fällt er jedoch aus.
Vielleicht gelingt es uns diesmal, einen Beweis zu finden, mir ist es nämlich noch nicht gelungen.

Für die ersten drei Vermutungen habe ich übrigens noch keine Ansätze, aber 43 Bestätigungen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie hast du kein Glück mit deinen Vermutungen:

Zitat:
Original von akechi90
2.: Es gilt stets: .

Ist bereits für falsch, denn ist für keine Primzahl.

Wie ich gerade erst sehe: Für stimmt das auch nicht, da hast du schlecht überprüft:





EDIT: 4.) und 3.) sind richtig, können sogar noch ausgedehnt werden:

4') Jedes mit ist Primzahl.

3') Es gilt , falls . Das lässt sich leicht mit dem kleinen Fermat und einer kleinen Zusatzüberlegung beweisen.
 
 
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt, wie ich selbst gestern Nacht wiederholt mit meinem GTR überprüft habe, scheint die zweite Vermutung im Sand zu verlaufen.

Was die erste Vermutung angeht, bin ich leider noch immer ratlos. Der Existenzbeweis scheint hier tatsächlich am schwierigsten zu sein, zumal schon die Frage nach der Existenz von unendlich vielen derartigen Primzahlen der Form im Fall auf die ungeklärte Frage hinausläuft, ob es nun unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt, oder nicht.
Aber die Existenz von nur EINEM EINZIGEN derartigen ,müsste doch noch irgendwie beweisbar sein... verwirrt

Werde übrigens Vermutung Nr. 2 für ungültig erklären.
Habe zudem Nr. 3 beweisen können (vielen Dank an Arthur Dent).

Nun bleibt nur noch Vermutung Nr. 1 aus, vielleicht schaffen wir es diesmal, eine Lösung zu finden, wer weiß...
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute für p=11 ist 1. nicht erfüllbar, habe aber noch keinen Beweis gefunden.

gruss
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist eben, wir müssten so lange suchen, bis wir einen Wert gefunden haben, oder wir müssten einen Beweis finden, dass die Vermutung für nicht gilt. Sobald ein Beweis existiert, dass dieser Fall nicht eintreten kann, ist meine gesamte Vermutung in sich zusammengebrochen.
Wahrscheinlich ist das Hauptproblem nur, dass die Faktorisierung derartiger Zahlen schon eine ziemliche Arbeit für Computer ist, zumal ein normaler GTR nur bis zu 10 Stellen genau ist.
Gibt es ein aus dem Netz beziehbares Programm mit normaler Benutzeroberfläche, das mir größere Zahlen berechnen und zerlegen kann?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von irre.flexiv
Ich vermute für p=11 ist 1. nicht erfüllbar, habe aber noch keinen Beweis gefunden.

Wird dir auch nicht gelingen: Es ist , es geht also doch für p=11.

@akechi90

Nimm irgendein CAS (=Computer-Algebra-System) für PC, z.B. MuPAD, Mathematica oder Maple. Da kommst du schon mal erheblich weiter, so paar Tausend Stellen sind da schon drin.
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, vielen Dank ^^

Wieviel kostet denn ein Programm wie Mathematica5 heutzutage?
Tja, bisher hält sich meine Vermutung, aber der Existenzbeweis ist wohl noch nicht drin...
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

d'oh

thx für den hinweis @ arthur; hatte nen fehler in meinem java-algorithmus

@akechi

beeindruckend in dem alter solche überlegungen anzustellen, weiter so =)
für einen schüler ist so ein cas wahrscheinlich zu teuer, kann sein das
noch irgendwo eine ältere mupad version kostenlos verfügbar ist.
existenzbeweise wirst du damit aber nicht führen können smile
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mache das eben leidenschaftlich gerne, mich mit echter Mathematik zu beschäftigen ^^

Danke für den Hinweis, ich bräuchte für solche Aufgaben eben schon mindestens 500 Stellen, und die müssten schnell berechenbar sein. Vielleicht hat ja meine Schule so ein Programm zur Verfügung.
Und Existenzbeweise sollte mir das Teil ja nicht führen, dann wäre die gesamte Mathematik ja langweilig ^^
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Vermutungen nun ein wenig weiter gesponnen, da ich mir daraus neue Erkenntnisse erhoffe:

Neue Vermutung 3:

Es existiert eine Funktion , für welche für jedes gilt .

Vermutung 5:

Jedes soll die Bezeichnung "Akechi-Primzahl" tragen (eine Akechi-Primzahl ist also eine Primzahl, die sich in der Form mit und darstellen lässt.
Die Behauptung lautet folgendermaßen: Man kann jeder Akechi-Primzahl sowohl als auch eindeutig zuordnen.
Also, dass man der Akechi-Primzahl 13 zum Beispiel den x-Wert 3 und den p-Wert 3 zuordnen kann.

Zudem habe ich durch einfache Umformungen herausgefunden:

existiert immer dann, wenn es eine Primzahl derart gibt, dass der Term eine ganzzahlige Potenz der Primzahl ergibt.
Vielleicht ist es über diesen Weg möglich, eine Lösung zu finden.

EDIT: Ich seh grade übrigens, dass wenn man die neue Vermutung 3 beweisen kann, Vermutung 1 gleich mitbewiesen ist.

Im Übrigen habe ich soeben folgende Identität gefunden:



Demnach darf kein Teiler von sein.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, deine neue Vermutung 3 ist obsolet: Falls existiert (also Vermutung 1 stimmt), dann kann man sofort wählen...
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, allerdings ist in meinen Augen eine sehr erotische Funktion, wie die Euler'sche Phi-Funktion. Man muss erst die Zahl überprüfen, um zu finden.
Meine Behauptung Nr. 3 läuft allerdings darauf hinaus, dass die Obergrenze des Wertebereichs von durch eine gewöhnliche, rein arithmetische Funktion bestimmt wird.
D.h. man kann zwar Vermutung 1 durch den Beweis von Vermutung 3 beweisen, aber nicht umgekehrt. Vielleicht ist ja so willkürlich verteilt, dass es nicht absteckbar ist.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, das könnte schwierig werden. Du müsstest eine präzise Definition von "arithmetischer Funktion" angeben. Mit wäre die Funktion g µ-rekursiv und damit aus informatischer Sicht berechenbar. Da dich diese Definition aber stört, fällt "arithmetisch" im Sinne von "berechenbar" weg.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von akechi90
Nun, allerdings ist in meinen Augen eine sehr erotische Funktion, wie die Euler'sche Phi-Funktion.

Ach, deswegen ist mir so heiß.....



Wow, das steht schon 45 Minuten da, und ich bin der erste, der eine anzügliche Bemerkung deswegen macht.
Man verzeihe mir.......
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich wollte ich ja sagen, eine eXotische Funktion, aber den Vertipper lass ich mal zur Freude derer stehen, die sich den Thread auch anschauen ^^
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Na da hätte Freud ja einen Heidenspaß...
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Gehören Mathe und Sex denn nicht unzertrennbar zusammen? Augenzwinkern

Ja, lese auch zurzeit ein Werk Freuds über das Vergreifen, vielleicht war mein Unterbewusstsein ja grad anderweitig "beschäftigt", wer weiß ^^
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich glaube, ich habe das Gerüst gefunden, auf dem sich die Vermutung aufbaut:

Wie uns schon bekannt ist, gilt stets

Nun betrachten wir den .

Der Funktionswert entspricht stets der Zahl , welche x Stellen besitzt.

Nun können wir einfach schauen, wie oft die Stellenzahl der einen Zahl in die andere Zahl hineinpasst. Und mit der Stellenzahl der Restzahl verfahren wir dann genauso, bis wir den erreichen. Dieses Verfahren führt stets zu diesem Ergebnis.

Es gilt also folgendes Gesetz: .

Da alle Primzahlen untereinander teilerfremd sind, müssen auch demnach ihre Funktionswerte untereinander teilerfremd sein.
Demnach sind alle Funktionswerte von Primzahlen untereinander teilerfremd.
Jetzt ist nur noch zu beweisen, dass mindestens eine von diesen unendlich vielen untereinander teilerfremden Zahlen eine Primzahl ist, und Vermutung Nr. 1 ist bewiesen. Mit etwas Glück sogar die, dass es unendlich viele derartige Primzahlen für jedes p gibt, womit auch bewiesen wäre, dass es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von akechi90
Jetzt ist nur noch zu beweisen, dass mindestens eine von diesen unendlich vielen untereinander teilerfremden Zahlen eine Primzahl ist

"Nur" ist gut. Augenzwinkern
Ich fürchte, dass die voranstehenden zweifelsohne richtigen Betrachtungen bei dem Beweis dieser Aussage hier nicht viel helfen werden. Aber lass dir von einem Skeptiker wie mir nicht den Spaß vermiesen. smile
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Hierfür habe ich allerdings schon nützliche Ansätze gefunden, die mit der Eulerschen Phi-Funktion arbeiten, und zu dem die Annäherung der Primzahlverteilung benötigen.
Ich denke, unmöglich sollte es nicht werden.
Sollte ich neues rausfinden, werde ich es natürlich hier schreiben Augenzwinkern

EDIT: Übrigens ist allein die Erkenntnis, dass Funktionswerte von primen Einsetzungen für x alle untereinander teilerfremd sind, schon ein riesiger Fortschritt, findeste nicht auch?
Wenn wir schon so weit sind, kommen wir bestimmt noch weiter.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, du kannst ja im Erfolgsfall mitteilen, wie du einen solchen Primzahlnachweis führen willst - ich hab nämlich keinen Schimmer wie das gehen soll.

Aber irgendwelche Methoden für derartige Existenzbeweise scheint es da ja zu geben, ansonsten hätte Dirichlet ja auch nie nachweisen können, dass arithmetischen Progressionen mit teilerfremden jeweils unendlich viele Primzahlen enthalten. Augenzwinkern
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von akechi90
Gibt es ein aus dem Netz beziehbares Programm mit normaler Benutzeroberfläche, das mir größere Zahlen berechnen und zerlegen kann?


Hallo akechi,

unter http://de.wikipedia.org/wiki/Computer-Algebra-System findet man eine Liste von nicht-kommerziellen CASen. Allerings kenn ich kein einziges davon unglücklich

Falls du mal das ein oder andere ausprobierst, kannst du ja mal berichten.

Gruß vom Ben

Edit: Hat vielleicht sonst jemand Erfahrung mit einem von diesen Programmen?
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

An Dirichlet habe ich auch zuerst gedacht, allerdings in zwei Zusammenhängen:

Nämlich, dass man das Schubfachprinzip verwendet, um zu zeigen, dass die Primfaktoren nur bis zu einem gewissen x ausreichen, sodass jedem Funktionswert zwei Faktoren zugeordnet sind.
Und zum anderen natürlich, dass man die Progressionsregel anwendet.
Nur muss ich halt alles noch in nen Kontext bringen, schließlich sind Primzahlbeweise wirklich nicht gerade einfach.
Aber sollte der Beweis gelingen, hab ich vielleicht auch meinen Namen in der Mathematik xD

Ja, ich werd mal ein solches Programm ausprobieren, danke für den Hinweis ^^
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habe eine neue Identität gefunden, mit der es vielleicht möglich wäre, das Problem zu lösen, mithilfe der entdeckten Teilerfremdheit der Werte für prime Einsetzungen:

Es gilt:



Wenn man jetzt beweisen könnte, dass ein Wert der Funktion durch alle Primzahlen kleiner teilbar wäre beziehungsweise, dass der Wert jede dieser Primzahlen, mit Ausnahme von p teilt, dann muss zwangsläufig eine Primzahl sein.
Nur braucht man eben den Beweis, aber so hoffnungslos wie am Anfang sieht es nicht mehr aus.

Im Übrigen habe ich ein Gegenbeispiel zu Vermutung Nummer 5 gefunden, dass jede so entstehende "Akechi-Primzahl" ein Urbild hat.
Denn es gilt:
Doch ich denke, hierbei handelt es sich um eine Ausnahme.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von akechi90
Doch ich denke, hierbei handelt es sich um eine Ausnahme.


Big Laugh

Leider bestätigen die in der Mathematik nicht die Regel Augenzwinkern
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

In meinem letzten Beispiel habe ich ja geschrieben, dass man alle Primzahlen bis auf ihre Teilbarkeit mit untersuchen müsste, aber wie ich jetzt erkannt habe, reicht es, zu bestätigen, dass wenn durch alle teilbar ist, eine Primzahl ist.
Diese Bedingung ist jedoch nicht zwingend.
Weitere Möglichkeiten würden darauf hinauslaufen, die Vermutung ähnlich zu beweisen wie den Dirichlet'schen Satz über arithmetische Progressionen. Nur finde ich dafür nirgends einen Beweis.

Eine weitere Möglichkeit scheinen hier Kreisteilungskörper zu sein, aber von denen hab ich so gut wie gar keine Ahnung... unglücklich
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ben Sisko
Edit: Hat vielleicht sonst jemand Erfahrung mit einem von diesen Programmen?


Ja, Hier findet man Pari/GP: http://pari.math.u-bordeaux.fr/
Lässt sich über die Konsole bedienen. Ausführliche Referenz, Tutorial, Mailing Listen vorhanden. OpenSource, kaum Speicherlecks. Alles TOP. Wink Durch sinnvolle Referenzen Zahlen in der Länge deines Speichers möglich.
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, jetzt habe ich sogar eine mögliche Erklärung, warum die Potenzen keine Primzahlen in ihrer Reihe enthalten.

Ich benötige noch für einige Informationen über bestimmte unendliche Reihen, nämlich die Werte der Funktion

Diese ist wie folgt definiert:



Könnte mir jemand die Werte dieser Funktion bis k=100 berechnen?
Oder gibt es eine explizite Formel?
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

von zwei bis hundert
1.606695152, .6821535026, .4210976860, .3017338536, .2341491301, .1909100624, .1609661843, .1390451177, .1223242434, .1091603492, .9853374847e-1, .8977901944e-1, .8244388027e-1, .7621040567e-1, .7084871181e-1, .6618852678e-1, .6210108824e-1, .5848724816e-1, .5526943922e-1, .5238611764e-1, .4978783629e-1, .4743441703e-1, .4529287964e-1, .4333590154e-1, .4154065632e-1, .3988792673e-1, .3836141944e-1, .3694723004e-1, .3563342122e-1, .3440968722e-1, .3326708457e-1, .3219781447e-1, .3119504551e-1, .3025276832e-1, .2936567566e-1, .2852906288e-1, .2773874483e-1, .2699098613e-1, .2628244240e-1, .2561011041e-1, .2497128573e-1, .2436352648e-1, .2378462226e-1, .2323256734e-1, .2270553756e-1, .2220187024e-1, .2172004670e-1, .2125867701e-1, .2081648666e-1, .2039230479e-1, .1998505391e-1, .1959374076e-1, .1921744822e-1, .1885532821e-1, .1850659525e-1, .1817052086e-1, .1784642841e-1, .1753368865e-1, .1723171562e-1, .1693996297e-1, .1665792070e-1, .1638511216e-1, .1612109138e-1, .1586544066e-1, .1561776834e-1, .1537770682e-1, .1514491071e-1, .1491905522e-1, .1469983463e-1, .1448696090e-1, .1428016242e-1, .1407918287e-1, .1388378012e-1, .1369372531e-1, .1350880191e-1, .1332880494e-1, .1315354018e-1, .1298282348e-1, .1281648012e-1, .1265434423e-1, .1249625820e-1, .1234207221e-1, .1219164373e-1, .1204483709e-1, .1190152307e-1, .1176157854e-1, .1162488606e-1, .1149133361e-1, .1136081425e-1, .1123322582e-1, .1110847072e-1, .1098645563e-1, .1086709128e-1, .1075029224e-1, .1063597669e-1, .1052406628e-1, .1041448591e-1, .1030716358e-1, .1020203020e-1

Keine Ahnung was man damit anfangen kann aber viel vergnügen wünsch ich dir.
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche darin eine Gesetzmäßigkeit zu finden, denn offenbar befinden sich Summanden der Entwicklung der Reihe vollständig in der Reihe .

Ich halte es für gut möglich, dass in der Lage ist, eine algebraische Struktur zu erzeugen.
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