Punktweise/Gleichmässige Konvergenz

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18.10.2008, 00:29	mike28	Auf diesen Beitrag antworten »
Punktweise/Gleichmässige Konvergenz Habe Probleme mit der punktweisen, bzw. gleichmässigen Konvergenz. Ich glaube ich verstehe noch nicht ganz das Thema und zwar soll ich die Fktfolge sin(x/n^2) überprüfen nach punktweisen, bzw. gleichmässigen Konvergenz besteht. punktweise ist ja recht eingfach limes n-->oo und schon haben wir 0 also konvergiert die Folge punktweise gegen 0. aber die gleichmässige finde ich nicht ganz so einfach. Wie muss ich jetzt Schritt für Schritt voran gehen ?? was ich noch weiss ich, dass das supremum von Sin =1 ist und x= pi/2 sein muss. und den nachweiss bringen das die Funktion nicht von x abhängt also limes n-->oo sup\|f_n(x)-f(x)\|=0 kann mir jemand den schritt hinschreiben was ich da einsetzen muss und warum also bissle erklären?? Dann sag ich mal schon vielen Dank für die Bemühung Mike
18.10.2008, 00:42	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Für manche vielleicht zu salopp formuliert :-) $\begin{eqnarray} f_n(x)=\sin(\frac{x}{n^2}) \end{eqnarray}$ Link Punktweise. Sei x also fest, dann geht x/n² für n gegen Unendlich gegen 0, der Funktionswert dann ebenfalls gegen Null. Soweit so gut. Nun habe ich dir mal 2 Bilder hingemalt. n=1. Auf der Periodenlänge 2pi. Unsere größte Entfernung von dem Grenzwert 0 ist 1. Es spielt nun keine Rolle für welchen x-Wert. Nun erhöhen wir n. Bei gleichmäßer Konvergenz sollte das eine globale Verbesseung zur Folge haben.Die neue Funktion hat eine periodenlänge von 4pi. Wieder ist die größte Entfernung 1. Somit haben wir diesbezüglich nichts gewonnen. Dies läßt sich argumentativ fortsetzen, d.h. es liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor.
18.10.2008, 00:54	mike28	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Für manche vielleicht zu salopp formuliert :-) Also muss ich gar nix wegen dem Supremum beachten weil bei mir in der Lsg setzen die das für x=pi/2 ein aber es sollte ja egal sein was ich einstze. okay das ist klar. dann dürfte ich ja genau genommen jedwelche Zahlen für n Einstzen dürfen doch irgendwann wir ja der Bruch gegen 0 gehen und somit ja auch der sin =0 wie kann ich mir dass klar machen was in der Formel limes n-->oo sup\|f_n(x)-f(x)\|=0 genau für \|f_n(x)-f(x)\| ist f(x)=0 also ist ja \|f_n(x)-0\| aber was soll ich jetzt für f_n(x) einsetzen
18.10.2008, 01:07	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Für manche vielleicht zu salopp formuliert :-) Ich würde es hier so schreiben. Mir ging es in der Antwort nur darum, dass man schon mal für sich klärt, was mein zeigen will. Die Funktionenfolge konvergiert punktweise gegen die Funktion f(x)=0. Konvergiert sie auch gleichmäßig dagegen? ---> Nein. Es ist $\begin{eqnarray} f_n(x)=\sin(\frac{1}{n^2}) \end{eqnarray}$ eine periodische Funktion mit der Periodenlänge $\begin{eqnarray} n²(2\pi) \end{eqnarray}$ Es reicht also sich jeweils mit den Funktionswerten einer Periode zu beschäftigen. Es ist $\begin{eqnarray} f_1(\frac{\pi}{2}) =\sin(0.5\pi) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_n(\frac{n^2\pi}{2}) = \sin(\frac{n^2\pi}{2n^2}) = \sin(0.5\pi)=1 \end{eqnarray}$ Somit gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}~\sup\|f_n(x)-f(x)\| = \lim_{n \to \infty}~\sup\|f_n(x)-0\| \neq 0 \end{eqnarray}$ Somit ist die Bedinung für gleichmäßige Konvergenz nicht erfüllt. Ich habe hier nur das "ungleich" geschrieben, und nicht =1, da ich sonst ja noch nachweisen müßte, dass dies das Supremum ist. Die Aufgabe ist aber imho damit erledigt, dass man die "ungleichheit" zeigt. Ich hätte ja auch einen anderen Funktionswert nehmen können, von dem ich in schöner "geschlossener" Darstellungen x und f(x) kenne.
18.10.2008, 01:17	mike28	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Für manche vielleicht zu salopp formuliert :-) geh ich also recht in der anahme das ich mich bei f_n(x) einfach n=1 setze und nur schaue ob ich durch verschiedene x was anderes hinbekomme als die 0? ich glaub ich hab mich noch garnicht bedankt für die Ausführliche und sehr schnelle hilfe also sag ich mal vielen Dank.
18.10.2008, 01:24	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Für manche vielleicht zu salopp formuliert :-) Gerne. Nein, das ist ja bei jeder Funkion anders. Hier ist der Hauptbrocken eben die Sinusfunktion, da hat man schon was an Wissen in der Hinterhand. Mit meinen Skizzen "sieht" man dann auch, was in der Funktionenfolge passiert. Wie ziehen das den Graphen in die Breite, die Höhe bleibt. Damit ist klar, mit gleichmäßiger Konvergenz haut das nicht hin. da wir global betrachtet immer ein x finden werden, wo wir unabhängig von n noch den Funktionswert 1 haben. Anders Beispiel. $\begin{eqnarray} f_n(x)=\frac{1}{n^2}\cdot \sin(x) \end{eqnarray}$ Wieder starten wir mit einer Periodischen Funktion. $\begin{eqnarray} f_1(x)=\sin(x) \end{eqnarray}$ Da nun die Periodenlänge gleich bleibt plotte ich mal in einem Wie sieht es hier mit punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz aus?
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18.10.2008, 01:36	mike28	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Für manche vielleicht zu salopp formuliert :-) Also Punktweise konvergiert der gegen 0 da limes n-->oo 1/(n^2) * sin(x) = 0 ist. Und ich sag jetzt das Ding ist auch gleichmässig da egal was ich für x einsetze der Bruch 1/n^2 den ganzen Term nach 0 gehen lässt. wenn ich für n nur beliebig hoch mache. Oder? Und bei meiner Fkt verschiebt sich ja die Periode von dem sin und somit kann ich ja trotzdem Werte für x finden, dass das Erg von sin(...) nicht Null ergibt.
18.10.2008, 01:43	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Für manche vielleicht zu salopp formuliert :-) Richtig. Ist x fest, so auch sin(x). Der Faktor 1/n² sichert uns also die Punktweise konvergenz gegen f(x)=0. Hier geht es sogar gleichmäßig. Die Periodenlänge ändert sich nicht. Der Sinus hat die (beragsmäßig gleichen Extremwerte bei +/- 0.5 pi, somit hier auch unsere Funktion f_n. Wir schreiben $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}~\sup\|f_n(x)-f(x)\| &&= \lim_{n \to \infty}~\sup\|f_n(x)\| \\&&= \lim_{n \to\infty} \|f_n(0.5\pi)\| \\&& =\lim_{n \to\infty} \|\frac{1}{n^2}\cdot 1\| =0 \end{eqnarray}$
18.10.2008, 01:52	mike28	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Für manche vielleicht zu salopp formuliert :-) Also dann denk ich mal ich habs auch verstanden. war jetzt im nachhinein nicht also schwer, durch die gute Erklärung!!! Überhaupt die letzten 2 Zeilen haben mir die Sicherheit gegeben das es, wie man bei uns sagt "gschnaggelt hat"(= es hat klick gemacht). Tolles Board!!!! und noch mal vielen Dank tigerbine
18.10.2008, 01:55	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Für manche vielleicht zu salopp formuliert :-) Es wird bestimmt nicht immer so "einfach" sein wie hier, gerade weil ja f(x)=0 galt. Aber nun kannst du dir vielleicht schon mehr unter den Begriffen vorstellen.

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