reihe so richtig auf konvergenz ueberprueft?

23.07.2006, 16:54

markus-rothe

reihe so richtig auf konvergenz ueberprueft?

Hallo,

ich muss folgende Reihe auf konvergenz ueberpruefen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits^{\infty}_{n=3} \left(\frac{n-3}{n+1}\right) ^n \end{eqnarray*}$

ich dachte erst daran diese auf die e-Funktion zurueck fuehren zu koennen:

$\begin{eqnarray*} a_n \left(\frac{n-3}{n+1}\right) ^n = \left(\frac{n+1}{n+1} - \frac{4}{n+1}\right) ^n = \left(1 - \frac{4}{n+1}\right) ^n \end{eqnarray*}$

aber bin ich mir absolut nicht sicher ob es das tut, weil ja innerhalb der klammer im nenner des bruchs n+1 steht und der exponent n ist. kann man jetzt trozdem folgendes sagen?

$\begin{eqnarray*} a_n = \left(1 - \frac{4}{n+1}\right) ^n \rightarrow \frac{1}{e^4} \text{ fuer } n\rightarrow\infty \end{eqnarray*}$

Die Reihe waere also nicht konvergent, da die Folge ueber die summiert wird ja keine nullfolge ist.

Vielen Dank im Vorraus.

Markus

23.07.2006, 17:12

WebFritzi

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Yes, so isses.

23.07.2006, 17:39

markus-rothe

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danke

24.07.2006, 08:57

klarsoweit

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RE: reihe so richtig auf konvergenz ueberprueft?

Zitat:

Original von markus-rothe
weil ja innerhalb der klammer im nenner des bruchs n+1 steht und der exponent n ist. kann man jetzt trozdem folgendes sagen?

$\begin{eqnarray*} a_n = \left(1 - \frac{4}{n+1}\right) ^n \rightarrow \frac{1}{e^4} \text{ fuer } n\rightarrow\infty \end{eqnarray*}$

Hier hilft die kleine Substitution n=m-1:
$\begin{eqnarray*} \left(1 - \frac{4}{n+1}\right)^n = \left(1 - \frac{4}{m}\right)^{m-1} = \left(1 - \frac{4}{m}\right)^m \cdot \left(1 - \frac{4}{m}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$
Und jetzt funktioniert das auch mit den bekannten Grenzwerten für e.

24.07.2006, 09:05

markus-rothe

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RE: reihe so richtig auf konvergenz ueberprueft?
super! vielen dank. hab' jetzt leider noch ein aehnliches problem. ich habe eine reihe, die so aussieht:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits^{\infty}_{n=1} (-1)^{n!} \cdot \left(1-\frac{2}{n!}\right)^{n!} \end{eqnarray*}$

fuer den term $\begin{eqnarray*} (-1)^{n!} \end{eqnarray*}$ kann man sagen, dass er gleich 1 ist fuer n>1. Und der hintere Teil geht jetzt wieder gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^2} \end{eqnarray*}$ ? ich meine.. fakultaet ist ja schon mal etwas ganz anderes als n-1 oder n... verwirrt

24.07.2006, 09:08

Sunwater

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bist du dir sicher, dass bei dem -1 wirklich hoch n! stehen muss? - das wäre ja für alle n, die größer als 1 sind sowieso eine gerade Zahl und damit dann 1

24.07.2006, 09:17

klarsoweit

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RE: reihe so richtig auf konvergenz ueberprueft?

Zitat:

Original von markus-rothe
Und der hintere Teil geht jetzt wieder gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^2} \end{eqnarray*}$ ? ich meine.. fakultaet ist ja schon mal etwas ganz anderes als n-1 oder n... verwirrt

Auch hier hilft die Substitution, diesmal m=n! oder die Überlegung, daß von einer konvergenten Folge $\begin{eqnarray*} a_m = (1 - \frac{2}{m})^m \end{eqnarray*}$ auch jede Teilfolge konvergent ist und diese auch den gleichen Grenzwert hat.

24.07.2006, 09:50

markus-rothe

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RE: reihe so richtig auf konvergenz ueberprueft?

Zitat:

Original von Sunwater
bist du dir sicher, dass bei dem -1 wirklich hoch n! stehen muss? - das wäre ja für alle n, die größer als 1 sind sowieso eine gerade Zahl und damit dann 1

ja, bin ich mir sicher.. war auch ne aufgabe fuer es recht wenig punkte gab ;-)

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

ha! ich glaube jetzt habe ich es verstanden Freude

24.07.2006, 10:39

Sunwater

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hab da mal ne Frage:

ihr schreibt einfach immer: $\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n \to e^a \end{eqnarray*}$

gilt das deswegen:

$\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{\frac{n}{a}} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{m} \right)^{ma} = \left( \left( 1 + \frac{1}{m} \right)^m \right)^a \end{eqnarray*}$

mit n = ma

???

24.07.2006, 11:09

klarsoweit

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Genau!

24.07.2006, 11:10

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Wobei das in dieser Weise erstmal nur für rationale $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ so klappt. Für beliebige reelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ folgt das dann aber auch leicht durch Intervallschachtelung.

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