"Wurzelbeweis"

18.10.2008, 10:37	Bietell	Auf diesen Beitrag antworten »
"Wurzelbeweis" Hallo, ich grüble seit gestern an folgender Aufgabe: Zeige, dass $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ irrational ist. Zeige hierzu zuerst: Wenn $\begin{eqnarray} \frac{p}{q} \end{eqnarray}$ ein so weit wie möglich gekürzter Bruch ist mit q ungleich 1, dann ist ( $\begin{eqnarray} \frac{p}{q})^n \end{eqnarray}$ für keine natürliche Zahl eine ganze Zahl. Wäre echt super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte. EDIT von Calvin LaTeX korrigiert
18.10.2008, 10:39	Bietell	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, entschuldigung, dieses komische b sollte nicht immer mit rein .
18.10.2008, 12:30	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Also der Beweis dazu, dass $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ irrational ist, ist analog zum Beweis, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ irrational ist, anzusetzen. Kennst du den? Das Lemma, welches du beweisen sollst ist ganz schnell bewiesen, wenn du $\begin{eqnarray} (\frac{p}{q})^n \end{eqnarray}$ mal umformulierst und dann ein logisches Argument formulierst. Bedenke, dass gilt: $\begin{eqnarray} 2^3=2\cdot 2\cdot 2 \end{eqnarray}$ Das musst du jetzt nur noch auf dein Problem beziehen.
18.10.2008, 17:55	Bietell	Auf diesen Beitrag antworten »
Mmh, ich habe mir das mal angeschaut. Denn Beweis für die Irrationalität von Wurzel 2 verstehe ich, aber ich bin mir nicht sicher, ob sich das genauso auch auf meine Aufgabe anwenden lässt?! $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{p}{q} \end{eqnarray}$ 2 = $\begin{eqnarray} \frac{p^{3}}{q^{3} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2q^{3} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} p^{3} \end{eqnarray}$ Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} p^{3} \end{eqnarray}$ durch 2 teilbar ist, und p demnach auch. Jetzt bin ich mir nicht sicher - kann ich p durch 2r ersetzen und den Beweis einfach fortführen wie für die 2. Wurzel von 2?! Dann ergäbe sich: $\begin{eqnarray} 2q^{3} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 2^{3} r^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q^{3} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 2^{2} r^{3} \end{eqnarray}$ Daraus dasnn: $\begin{eqnarray} q^{3} \end{eqnarray}$ ist, weil durch 4 teilbar, auch durch 2 teilbar, q demnach auch. Also sind sowohl p als auch q durch 2 teilbar. Das hieße aber, dass sich der Bruch $\begin{eqnarray} \frac{p}{q} \end{eqnarray}$ sehr wohl noch weiter kürzen ließe - die dritte Wurzel aus 2 muss irrational sein. Kann das so hinhauen?
19.10.2008, 12:32	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das haut so hin

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