Welches Konvergenzkriterium

23.07.2006, 16:41

gast123

Welches Konvergenzkriterium

Hi,

habe zwei Reihen, bei dennen ich die konvergenz nachweisen soll:

a) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ (-1)^n(\sqrt{n-1}-\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$

bei a) habe ich es mit dem Quotienten- und dem Wurzelkriterium versucht aber keine schöne Formel hinbekommen

zu b) habe ich mir gedacht, dass man doch mit dem Leibnitzkriterium die Konvergenz beweisen kann, da $\begin{eqnarray*} (\sqrt{n-1}-\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist und es eine Alternierende Reihe ist.(Müsste ich in dem fall noch beweisen, dass die reihe monoton fallend ist??? Ist ja eigentlich einleuchtend)

Danke schöööön!

23.07.2006, 16:42

gast123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Welches Konvergenzkriterium
korrektur zu b)

b) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ (-1)^n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$

23.07.2006, 22:04

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zu a) Sei $\begin{eqnarray*} a_n := \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1}+\sqrt{n}\leq(\sqrt{2}+1)\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ hast du eine Minorante gefunden: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n \geq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(\sqrt{2}+1)n} = \infty \end{eqnarray*}$ .

zu b) Ja, das solltest du schon noch nachweisen. Aber Leibniz passt.

Gruß, therisen

24.07.2006, 06:48

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Welches Konvergenzkriterium

Zitat:

Original von gast123
zu b) habe ich mir gedacht, dass man doch mit dem Leibnitzkriterium die Konvergenz beweisen kann, da $\begin{eqnarray*} (\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist und es eine Alternierende Reihe ist.(Müsste ich in dem fall noch beweisen, dass die reihe monoton fallend ist??? Ist ja eigentlich einleuchtend)

Erstens mußt du zeigen, daß die Folge $\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ monoton fällt und zweitens mußt du auch zeigen, daß sie eine Nullfolge ist.

25.07.2006, 00:44

gast123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Welches Konvergenzkriterium
@therisen habe deinen vorschlag noch nicht nachgerechnet, aber sieht schon mal sehr gut aus! Danke!!!

@klarsoweit um zu zeigen, dass diese monoton fallend ist muss ich doch einfach $\begin{eqnarray*} a_n - a_{n+1} > 0 \end{eqnarray*}$ beweisen. Muss ich dann noch von $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ den Grenzwert bilden um zu zeigen, dass es eine nullfolge ist? Oder reicht es zu "behaupten" das bei einem sehr großem n die +1 kaum noch in wertung fällt? und dann das ganze diesem gleicht: $\begin{eqnarray*} \sqrt{n}-\sqrt{n} \end{eqnarray*}$

25.07.2006, 06:14

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, die Monotonie beweist du, wie du es schon beschrieben hast

Und die Begründung für die Nullfolge reicht nicht aus, du musst schon exakter werden. Benutze dafür einfach die Definition des Grenzwertes

Neue Frage »

Antworten »

Welches Konvergenzkriterium

Verwandte Themen