stetig oder nicht?

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23.07.2006, 19:20	gast123	Auf diesen Beitrag antworten »
stetig oder nicht? Hi, direkt noch eine Frage. Ich soll diese funktion auf stetigkeit in x0=0 untersuchen: $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{1}{10x sin(x) }-\frac{1}{x^2}, x<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{1}{2}, x\geq 0 \end{eqnarray}$ Dazu muss ich ja den Grenzwert von $\begin{eqnarray} \frac{1}{10x sin(x) }-\frac{1}{x^2} \end{eqnarray}$ bilden und gucken ob der gegen 1/2 geht. Ist es der Fall ist die Funktion in x0 stetig, ansonsten nicht.... So jetzt habe ich versucht den Grenzwert zu bilden und komme nicht richtig weiter. Mein ansatz war folgender: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{1}{10xsin(x)} - \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray}$ den ersten grenzwert kann ich doch mit L'Hospital rechen wobei dann der Term gegen 0 läuft, der andere term müsste gegen $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ laufen, so würde das ganze dann gegen $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ laufen, oder habe ich mich da jetzt absolut vertan Gruß gast123
23.07.2006, 19:24	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
der erste term läuft nicht gegen null... aber du kannst ja mal beide auf einen bruch bringen und dann hospital machen
23.07.2006, 19:28	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim~(a+b)=\lim~a+\lim~b \end{eqnarray}$ gilt nur, wenn die Grenzwerte rechts existieren! Ansonsten kannst du damit gar nicht kommen! Bei dir existieren die beide nicht, also kannst du es nicht auseinanderziehen. Siehe z.B.: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty}~(x-x)=0 \end{eqnarray}$ offensichtlich! Aber $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty}~x-\lim_{x \to \infty}~x \end{eqnarray}$ ist als Differenz zweier unbestimmer Ausdrücke nicht definiert! Musst also aufpassen! Sunwater sagt dir, wie es geht.
23.07.2006, 20:05	gast123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetig oder nicht? Also müsste es dann so gehen: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{1}{10xsin(x)} - \frac{1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2-10xsin(x)}{10x^3sin(x)}=\lim_{x \to 0} \frac{x-10sin(x)}{10x^2sin(x)}=\lim_{x \to 0} \frac{1+cos(x)}{2xcos(x)}=\lim_{x \to 0} \frac{-sin(x)}{-2sin(x)}=\lim_{x \to 0} \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ womit die funktion stetig wäre. Oder ist da noch n Fehler? Danke
23.07.2006, 20:52	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist falsch wo ist der Faktor 10 hin? will die 1 nicht auch noch durch 10 geteilt werden, wenn du kürzt? nach dem ersten l'Hôspital-Schritt hast du keine Voraussetzungen mehr für noch einmal den Satz, denn dann steht im Zähler als Grenzwert nicht mehr 0 etwas umständlich ist es am Anfang auch noch, bringe gleich auf den Hauptnenner mit einem x weniger; aber das ist Nebensache.
23.07.2006, 21:55	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Nenner ist auch falsch abgeleitet, Produktregel.
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23.07.2006, 23:19	gast123	Auf diesen Beitrag antworten »
schade eigentlich meine lösung hätte mir so gut gefallen. habe nun folgendes raus, womit ich nicht viel anfangen kann: $\begin{eqnarray} \frac{1-10cosx}{20xsinx+10x^2cosx} \end{eqnarray}$ Nochmal L'Hospital kann ich ja nicht anwende und was anderes kenn ich zum Lösen leider auch nicht.... Wie gehts nun weiter???
23.07.2006, 23:25	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
der grenzwert davon ist unendlich, wie man daran erkennen kann, dass der zähler beschränkt und ungleich 0 ist und der nenner gegen 0 geht. mfG 20 PS: hab aber nicht überprüft, ob der ausdruck richtig ist.
24.07.2006, 08:29	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht ganz - der Grenzwert ist minus unendlich, denn der Zähler ist negativ, wenn man sich von links der Null annähert. @gast: - es ist so ähnlich wie bei $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ wenn du dich im Nenner der Null annäherst, und oben ein beschränkter Term steht, werden die Werte immer größer.
24.07.2006, 14:18	gast123	Auf diesen Beitrag antworten »
also kann ich in dem Fall einfach sagen, dass 1-10cosx durch -9 beschränkt ist und der zähler immer kleiner wird, und daher das ganze gegen -unendlich geht?
24.07.2006, 14:26	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstens wird der Nenner immer kleiner und selbst das ist ungenau, denn zweitens wird auch die Folge a_n = -n mit n aus N immer kleiner. Man muß also so formulieren: Der Zähler konvergiert gegen -9, der Nenner ist in einer hinreichend kleinen Umgebung von Null immer positiv und konvergiert gegen Null. Also konvergiert der Quotient gegen minus unendlich.
25.07.2006, 02:28	gast123	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar. habe das selbe sagen wollen , habe es nur nicht so schön mathematisch formulieren können

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