Appromixation durch Taylorentwicklung

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18.10.2008, 13:48	C.Pistorius	Auf diesen Beitrag antworten »
Appromixation durch Taylorentwicklung Hallo Ihr, ich habe folgende Aufgabe: Mittels Taylorentwicklung soll für den Fehler in der Approximation von $\begin{eqnarray} sin(x)\approx x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|x\| \leq \pi/4 \end{eqnarray}$ eine obere Schranke gefunden werden. Nun kann ich ja diese Tayloentwicklung so umformen, dass ich zu folgendem Ergebnis komme: $\begin{eqnarray} \|sin(x) - x\| \leq \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 + \frac{1}{7!} x^7 + \dots \end{eqnarray}$ Ist das soweit richtig oder muss ich diesen Fehler anders bestimmen? und wie kommt eigentlich der Bereich $\begin{eqnarray} \|x\| \leq \pi/4 \end{eqnarray}$ da rein? Ich bin mir unsicher. LG C.
18.10.2008, 14:05	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Gedanken Ich versuche es nun einmal wörtlich zu nehmen. Hier soll also die Funktion f(x)=sin(x) auf dem Intervall $\begin{eqnarray} -\frac{\pi}{4},~-\frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ durch die Funktion g(x)=x approximiert werden. Das sehe so aus: Die größte Abweichung scheint also an den Rändern des Definitionsbereichs aufzutreten, begründen will ich das an dieser Stelle nicht. $\begin{eqnarray} \|\sin(x)-x\|_{[-0.25\pi,0.25\pi]} \leq 0.08 \end{eqnarray}$ Was mich nun wundert, das kein Entwicklungspunkt angegeben ist. Ich wähle einmal x=0. Wie sieht dann die Taylorreihe aus? $\begin{eqnarray} P_f(x) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} (x-0)^n \end{eqnarray}$ Schauen wir uns die ersten Partialsummen an. $\begin{eqnarray} P_f^{(0)} = f(0) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P_f^{(1)} = f(0) + f'(0)\cdot (x-0) = 0 + 1 \cdot (x-0) = x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P_f^{(1)} =g(x) \end{eqnarray}$ Damit kann man den Fehler über das Restglied abschätzen. Wähle die Darstellung, mit der du am Besten zurecht kommst.
18.10.2008, 17:27	C.Pistorius	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Tigerbiene, danke für die Antwort, dann heißt "eine obere Schranke für den Fehler bei der Approximation" einfach zu sehen, um wieweit sich die Funktion und ihre Approximation maximal unterscheiden? Für die Abschätzung bin ich ja auch schon so weit, dass ich aus der Umformung der Taylorreihe das hier angeben kann: $\begin{eqnarray} \| sin(x) - x\| \leq \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 + \frac{1}{7!}x^7 + \dots \end{eqnarray}$ wie kommt aber bei dieser Taylorabschätzung der Defbereich von $\begin{eqnarray} \|x\| \leq \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ ins Spiel`? LG
18.10.2008, 17:30	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast mich nicht verstanden. Der Bereich für x ist doch vorgegeben, auf dem sollst du den Fehler abschätzen. Ich habe dir schon mal eine Schmierzettel Rechnung gezeigt, damit du weißt, wie groß das Ergebnis sein wird. Der Trick ist zu erkennen, das g(x)=x eine Taylorentwicklung von sin(x) um x=0 ist. also schlag in der Vorlesung nach, wie ihr den Fehler == das Restglied definiert habt. Das musst du berechnen. http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel
18.10.2008, 18:13	C.Pistorius	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich schätze nach Cauchy-Restglied also ab: $\begin{eqnarray} \|sin(x) - x\| \leq \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 + \frac{1}{7!}x^7 \dots < \sum_{k=1}^\infty q^k = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray}$ und das gibt dann für $\begin{eqnarray} q=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ irgendwas um 4,66. kann das der sinn dabei sein? lg
18.10.2008, 19:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x)=T_1(x)+R_1(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=\sin(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_1(x)=x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} [a,b]=[0,0.25\pi] \end{eqnarray}$ (Wegen der Symmetrie) $\begin{eqnarray} R_{1}(x) = \frac{f^{(2)}(\xi_x)}{(2)!}(x-0)^{2} = -0.5 \cdot x^2 \cdot \sin(\xi_x),~\xi_x \in [0,0.25\pi] \end{eqnarray}$ Nun schätzen wir das eben mal ab. Da Xi von x abhängt, werden wir wohl nicht so gut rankommen wie mit den Elementaren Überlegungen über die Funktion. $\begin{eqnarray} \|R_1(x)\| < \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} \pi^2 \cdot \sin(\frac{1}{4}\pi) \approx 0.22 \end{eqnarray}$ Schauen wir uns das nur mal zum Vergleich an, da wir ja wissen, bei welchem x wir schauen müssen. $\begin{eqnarray} R_1(0.25\pi) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} \pi^2 \cdot \sin(\xi_x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin(0.25\pi)-0.25\pi = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} \pi^2 \cdot \sin(\xi_x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin(0.25\pi)-0.25\pi = -\frac{1}{32} \pi^2 \cdot \sin(\xi_x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0.25 \approx \sin(\xi_x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \xi_x \approx 0.26 \end{eqnarray}$
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19.10.2008, 16:53	C.Pistorius	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Du, danke für die ausführliche Rechnung. Nun verstehe ich nur nicht ganz, warum du das nur für $\begin{eqnarray} R_{1}(x) \end{eqnarray}$ -Glied machst und nicht für mehrere. müsste es nicht heißen : $\begin{eqnarray} f(x) = T_{1}(x) + R_{1}(x) + R_{2}(x) \dots \end{eqnarray}$ ? Und welches Ergebnis ist nun das Xi, wie muss ich das einordnen? Liebe Grüße und Danke, C.
19.10.2008, 17:02	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum sollte ich weiter Glieder betrachten? Die Aufgabe gibt uns doch diese Darstellung vor. Zu einer Taylorapproximation n-ter Ordnung gehört nur ein Restglied. $\begin{eqnarray} f(x)=T_1(x)+R_1(x) \end{eqnarray}$ Das Xi sollte dir nur zeigen, dass es im Intervall [0,0.25pi] liegt, also "exisitert". Mit diesem Wissen, kann ich den Fehler dann auch noch besser berechnen. I.A. kennen wir Xi aber nicht konkret, der Satz besagt ja nur, dass es eins gibt. Wir wissen ja nun, wo die größte Abweichung auftritt, also schauen wir uns an dieser Stelle das Restglied an. $\begin{eqnarray} R_1(0.25\pi)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} \pi^2 \cdot \sin(0.26) \approx 0.08 \end{eqnarray}$
19.10.2008, 17:38	C.Pistorius	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn das so ist, dann habe ich wohl einfach die Theorie der Taylorapproximation nicht verstanden =) .. vielen Dank dann einmal! haben wir an dieser STelle dann eine Approximation erster Ordnung? LG C.
19.10.2008, 17:43	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel Der Trick in der Aufgabe ist, was ich schon am Anfang sagte. Wir sollen den Fehler zwischen f und g abschätzen. Das könnten wir analytisch tun, mit Überlegungen die dazu führen, dass die Differenz f-g bei x=0.25pi am größten ist. (0.08) Das sollst du hier aber nicht tun. du sollst erkennen, dass g ein Taylorpolynom ist und den Fehler dann über das Restglied abschätzen. Problem dabei ist, dass wir jeden Faktor abschätzen müssen. Deswegen landen wir "so weit daneben" (0.22)

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