Induktion Ungleichung

18.10.2008, 14:14

neubau_86

Induktion Ungleichung

Also ich habe hier zwei Induktionen von Ungleichung im Anhang. Ich verstehe alles, ausser das was ich Rot markiert habe. Vielleicht könnt ihr mir helfen.Gruss

18.10.2008, 14:20

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Hallo,
also zum 1. roten Kreis:
Ist doch klar, k >= 1, also ist doch k+k >= k+1, das 'zweite' k hat man nach unten mit 1 abgeschätzt.

2. roter Kreis.
Da schätzt man ka^2 ab. Du weißt, k > 1 also ist ka^2 > 1*a^2 (hier hat man wieder das k nach unten abgeschätzt)

18.10.2008, 17:43

neubau_86

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Das verstehe ich nicht, man soll doch von der A(n) Form auf die A(n+1) kommen, wie soll das dann gehen das man etwas abschätzt? Verstehe ich wirklich nicht.

18.10.2008, 17:49

tmo

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Ungleichungen sind doch transitiv. Sprich aus $\begin{eqnarray*} a > b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b>c \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} a > c \end{eqnarray*}$

18.10.2008, 17:52

Jacques

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Hm, es ging wahrscheinlich eher darum, wie man auf

$\begin{eqnarray*} k + k \geq 1 + k \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 1 + a(k+1)+ ka^2 > 1 + a(k+1)+ a^2 \end{eqnarray*}$

kommt.

Beides basiert auf folgendem Satz:

$\begin{eqnarray*} a > b \ \wedge \ c > d \ \Rightarrow\ a + c > b + d \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} a > b \ \wedge \ c > d \ \Rightarrow\ a \cdot c > b \cdot d \end{eqnarray*}$

(wobei im letzteren Fall c, d > 0 gelten muss)

// @ neubau_86: Und versuche beim nächsten Mal eine vernünftige Auflösung beim Scan einzustellen. ;-)

18.10.2008, 19:44

neubau_86

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Ja also in der einen Zeile steht das ja mit den k+k>=1+k . Wie bin ist man da auf k+1 gekommen. Diese Gesetzmäßigkeit die du mir geschrieben hast weiß ich nicht so wirklich auf das Beispiel anzuwenden. Ich danke euch für eure Geduld aber Induktion ist vollkommenes Neuland. Vielleicht könnt ihr mir das ein wenig genauer erklären. Danke

18.10.2008, 19:58

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Hallo,

Zitat:

Original von neubau_86
Ja also in der einen Zeile steht das ja mit den k+k>=1+k . Wie bin ist man da auf k+1 gekommen.

Das habe ich doch oben schon geschrieben.

Denn laut Voraussetzung ist k >= 1, also ist doch k+k >= k+1.

Um es logisch zu erklären:
Wenn ich zu k eine Zahl addiere, die größer gleich 1 ist, dann erhalte ich doch auf alle Fälle eine Zahl, die größer gleich k + 1 ist.
Oder:
Ich addiere zu k eine Zahl mit min. der Größe 1, also erhalte ich eine Zahl >= k+1.

Persönlich hätte ich den Induktionsschritt so gemacht:
von n nach n+1:
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \underbrace{\geq}_{IV: 2^n \geq n} 2 \cdot n = n+n \underbrace{\geq}_{n \geq 1} n+1 \end{eqnarray*}$

Also wurde die Aussage A für n+1 bewiesen.

Hoffe das hilft weiter.

18.10.2008, 22:42

WebFritzi

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Wir haben zwei Körbe voller Äpfel. Da sind jeweils k Äpfel drin. Nun nimmst du aus dem ersten alle bis auf einen Apfel raus. In den Körben sind jetzt weniger Äpfel als zuvor, d.h.

$\begin{eqnarray*} k + k \ge k + 1. \end{eqnarray*}$

18.10.2008, 23:02

Airblader

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Oder nochmals "rechnerisch":

Die Voraussetzung ist

$\begin{eqnarray*} k \geq 1 \end{eqnarray*}$

Addiere auf beiden Seiten k (was man ja darf):

$\begin{eqnarray*} k+k \geq k+1 \end{eqnarray*}$

Wenn man das jetzt noch nicht versteht, ohne es böse zu meinen, sollte man gewisse Dinge wiederholen und Induktion u.ä. eventuell erstmal beiseite legen.

Aber ich hoffe, dass es nun klar ist Augenzwinkern

Nun haben wir ja genug Erklärungen.

air

19.10.2008, 15:08

neubau_86

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Ach so jetz habe ich es kapiert. Also das habe ich erst gar nicht gesehen. Ich war solange mit der Induktion beschäftigt das ich vor lauter Bäumen den Wald gar nicht mehr gesehen habe. Super Danke euch.Gruss

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