Pythagoreische Tripel

18.10.2008, 15:13

Bjoern1982

Pythagoreische Tripel

Hallo zusammen,

wie der Titel schon verrät geht es um die sogenannten Pythagoreischen Tripel (x,y,z), insbesondere hier aber um die primitiven unter ihnen (PPT), also um alle, die zueinander teilerfremd sind.

Nun möchte ich beweisen, dass entweder x oder y ein Vielfaches von 3 sein muss.
Wie kann man da rangehen ?

Ansätze sind bei mir sehr rar:

Es muss eben x²+y²=z² gelten und der ggT von jeweils zwei der 3 Einträge ist wegen der Primitivität gleich 1.

Der erste Gedanke war eben, dass ich irgendwie auf x*y=3k schließe (mit k aus IN)
Nur wie...oder geht man da doch eher anders ran verwirrt

Bin für jede Hilfestellung dankbar.

Gruß Björn

18.10.2008, 16:07

tigerbine

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...
Hallo Bjoern,

das ist zwar absolut nicht mein Gebiet, aber meine erste Idee war es die Gleichung umzustellen

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=z^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=z^2-y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=(z+y)(z-y) \end{eqnarray*}$

Vielleicht kann man so eher etwas folgern. Wink

18.10.2008, 16:12

ajax2leet

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Ich hätte noch anzubieten:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(x,y) = sx + ty \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s,t \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Aber kA ob das hilft smile

18.10.2008, 16:19

Bjoern1982

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@tigerbine

Erstmal danke für deine Antwort smile

Ich denke gleich mal drüber nach wie mir das evlt weiterhelfen könnte...so nach dem ersten Überlegen tut sich da bei mir noch nix. Vielleicht noch ein kleiner Tip ? Augenzwinkern

Zum anderen war ich auch gerade in der "Widerspruchsschiene", also einen indirekten Beweis durch Widerspruch zu versuchen:

Wären x, y nicht durch 3 teilbar. Dann ist x = 3a+1 und y = 3b+1 mit a,b aus IN.

--> x² + y² = 9a² + 6a + 1 + 9b² + 6b + 1 = 3(3a² + 3b² + 2a + 2b) + 2.

Dann müsste z² = 3u + 2 eine Quadratzahl sein mit u aus IN.
Ich hoffe mal es ist niemals eine Big Laugh

Nur wie zeige ich das...

Falls das von mir bis dahin richtig ist wäre ich dennoch an einem direkten Beweis interessiert bzw auch noch an einen weiteren Tip von dir tigerbine Wink

Björn

18.10.2008, 16:30

tigerbine

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Nur das keine Missverständnisse aufkommen. Ich hab hier nicht die Lösung auf einem Blatt stehen. Mache mir nur gerade Gedanken über die Aufgabe. Augenzwinkern

Wir haben also 3 teilerfremde natürliche Zahlen x,y,z. Zeigen willst du, dass dann gelten muss 3|x oder 3|y. Gehen wir in die Faktorschreibweise:

$\begin{eqnarray*} x^2=(z+y)(z-y) \end{eqnarray*}$

nun müßte man eben schauen, was man aus der Teilerfremdheit hier folgern kann. Denn nun müssen die Teiler von x sich ja auch in der rechten Seite wiederfinden.

Ich verabschiede mich erstmal in die Kaffeepause. Wink

18.10.2008, 16:54

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Dann müsste z² = 3u + 2 eine Quadratzahl sein mit u aus IN.
Ich hoffe mal es ist niemals eine Big Laugh

Richtig.

Zitat:

Original von Bjoern1982
Nur wie zeige ich das...

Na geh doch einfach die drei möglichen Fälle modulo 3 durch. Oder falls du Modulorechnung aus dem Weg gehst: Betrachte die drei möglichen Varianten $\begin{eqnarray*} z=3k-1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z=3k \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} z=3k+1 \end{eqnarray*}$ .

19.10.2008, 01:49

Bjoern1982

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Ok, dann mal die 3 Varianten:

1) (3k-1)²=9k²-6k+1=3(3k²-2k)+1 ---> ist nicht von der Form 3u+2

2) (3k+1)²=9k²+6k+1=3(3k²+2k)+1 ---> ist nicht von der Form 3u+2

3) (3k)²=3*3k²+0 ---> ist nicht von der Form 3u+2

Also tritt bei der Division einer Quadratzahl durch 3 niemals der Rest 2 auf.

Zu zeigen mit Kongruenzen durch quadratische Reste:

z=0 ---> z²=0 ---> z² ist kongruent 0 mod 3

z=1 ---> z²=1 ---> z² ist kongruent 1 mod 3

z=2 ---> z²=4 ---> z² ist kongruent 1 mod 3 ---> quadratischer Nichrest

Alles in Ordnung soweit ?

Und um nochmal auf meinen Ansatz vorhin zurückzukommen:

Zitat:

Wären x, y nicht durch 3 teilbar. Dann ist x = 3a+1 und y = 3b+1 mit a,b aus IN.

--> x² + y² = 9a² + 6a + 1 + 9b² + 6b + 1 = 3(3a² + 3b² + 2a + 2b) + 2.

Dann müsste z² = 3u + 2 eine Quadratzahl sein mit u aus IN.

Das ist nicht ganz vollständig oder ?
Denn es gibt auch noch den Fall x=3a+2 bzw 3a-1 und y=3b+2 bzw 3b-1, was aber dann analog verläuft und sich am Rest 2 nichts ändern wird.

Gibt es auch noch einen direkten Beweis zu dieser Implikation ?

Gruß Björn

19.10.2008, 09:21

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Alle Varianten, die mir so einfallen, beinhalten eine indirekte Komponente.

Warum zum Teufel sind alle immer so scharf auf "direkte" Beweise? Also ob am indirekten Vorgehen irgendwas eklig sei. unglücklich

19.10.2008, 11:57

Bjoern1982

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Ganz und gar nicht, in den meisten Fällen eher elegant wenn die Negation der eigentlichen Behauptung dann durch simple Umformungen zu einem Widerspruch führt, was sich ja bei solchen Aussagen gerade zu anbietet wenn eine bestimmte Eigenschaft mindestens einmal erfüllt sein soll und man dann damit ansetzt dass die Eigenschaft gar nicht erfüllt sei, also das Gegenteil behauptet und es widerlegt.

Die Frage war nur rein Interesse halber, falls ich womöglich eine offensichtliche Folgerung eines PPT übersehen habe, die direkt zu der zu beweisenden Aussage führt.

Da du du dem anderen nichts mehr gesagt hattest gehe ich davon aus das nun alles stimmt smile

Danke für die Hilfe.

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