f Riemann-integrierbar --> f beschränkt (?)

18.10.2008, 15:44

Zellerli

f Riemann-integrierbar --> f beschränkt (?)

Komischer Titel, aber wengistens sagt er was gemeint ist. Ich hatte zwei Semester Physiker Mathe (wilder Mix aus LinA1-2 und Ana1-2), tu mir jetzt Ana3 an.

Mein Auftrag:

Beweisen oder widerlegen Sie:
Sei $\begin{eqnarray*} f: [1 , \infty ) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine stetige und uneigentlich Riemann-integrierbare Funktion. Dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ beschränkt.

Meine Gedanken (Gedanken eines Physikstudenten, dem unpräzise Mathematik immer als Handwerkszeug gereicht hat):

1. Riemann-Integral = "das normale Integral" (dieses andere Lebesgue kommt dann dieses Sem)
2. uneigentlich integrierbar = Der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} [F]_{1}^a \end{eqnarray*}$ existiert und ist endlich (gibts dafür ein cooles Symbol?).
3. beschränkt = (Wikipedia) Bildmenge von f soll eine beschränkte Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bilden. Es soll also eine obere und untere Schranke für $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ geben.

Dann habe ich zusammengefasst:
Ich will von 2. auf 3. also:
Von
$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} [F]_{1}^a \text{existiert und ist endlich} \end{eqnarray*}$
auf
$\begin{eqnarray*} \text{Es existiert ein } b \in \mathbb R \text{ für das gilt: } b \geq f(x) \text{ für alle } x \in [1,\infty ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{Es existiert ein } c \in \mathbb R \text{ für das gilt: } c \leq f(x) \text{ für alle } x \in [1,\infty ) \end{eqnarray*}$
(irgendwann lern auch ich noch das elegant mit $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ zu formulieren Augenzwinkern

)

Meine Fragen:
Stimmen meine Definitionen?
Fehlt dabei etwas entscheidendes, was ich brauche um die Aufgabe zu lösen?
Stimmt der Ansatz von Start --> Ziel für diesen Beweis?

Das ist glaube ich eine ziemlich simple Aufgabe, aber der Umstieg auf die saubere Mathematik und das nachschlagen der Definitionen macht sie für mich etwas schwierig Augenzwinkern

18.10.2008, 16:52

WebFritzi

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Deine Formulierungen sind so ok. Benutze ein Analogon zu Cauchyfolgen und die Stetigkeit von f, um die Aussage zu beweisen.

EDIT: Huups, die Behauptung stimmt ja gar nicht. Stell dir dazu einfach eine stückweise lineare und stetige Funktion vor, die bei jeder natürlichen Zahl n einen symmetrischen Berg (Hut oder "Peek") der Höhe 2n und der Breite 1/n³ hat und dann Null ist bis zur nächsten natürlichen Zahl.

18.10.2008, 17:37

Zellerli

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Dann ist aber doch das Integral nicht endlich, weil ich ja unendlich viele Peeks aufsummiere, oder?

18.10.2008, 17:46

tmo

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Die aber immer schmaler werden und insbesondere liegt ihr Flächeninhalt bei $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n^2} \end{eqnarray*}$ . Dass das Integral dann konvergiert, kann man wegen $\begin{eqnarray*} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2} < \infty \end{eqnarray*}$ vermuten, bzw. deswegen kommt WebFritzi ja auf diese Funktion.

Definiere einfach mal solch eine Funktion ordentlich und bestimme dann $\begin{eqnarray*} \int_1^a f(x)dx \end{eqnarray*}$

edit: Flächeninhalt liegt ja gar nicht bei 2/n^2, das sind ja gar keine Rechtecke. Naja aber da in der Nähe Augenzwinkern

Jetzt wird mir auch klar, warum Webfritzi die Höhe 2n gewählt hat. Hab mich schon gewundert.

18.10.2008, 17:49

Zellerli

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Ja klar... n-Abhängigkeit jetzt garnicht drauf geachtet, hatte erstmal damit zu kämpfen mir solche Peeks stetig vorzustellen Augenzwinkern

Dann ertüftel ich mir nachherd mal so ein Ding.
Danke für die Hilfe Chuck Norris und tmo!

21.10.2008, 18:10

Zellerli

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Sooo...

Echt witzig, dass diese eine Aufgabe nur eine Teilaufgabe des Übungsblattes ist und einen Punkt (von 20) gibt, während ich für das Bestimmen der Extrema einer zweidimensionalen Funktion auf einer Kreisscheibe gleich mal 6Punkte bekomme und mir da nicht die Zähne dran ausbeiße Augenzwinkern

Ich hab mir folgendes gedacht, basierend auf dieser Peek-Darstellung:

Gauss!

Ich nehme erstmal nur die Exponentialfunktion heraus:

$\begin{eqnarray*} \exp\left(-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right) \end{eqnarray*}$

Der Flächeninhalt dieser Kurve ist dann erstmal $\begin{eqnarray*} \sigma \sqrt{2\pi} \end{eqnarray*}$ , weshalb man ja mit dem Kehrwert normiert, weil man in der Wahrscheinlichkeitsrechnung die 1 so gern hat.

Die Höhe des Peeks ist im unnormierten Fall 1 und mit der Normierung wäre er entsprechend $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \end{eqnarray*}$ .

Ich würde das gern Plotten, aber ich bin so unfähig, dass ich mit Mathematika nichtmal den Graphen einer Summandenfunktion davon vergrößern kann, um zu prüfen, ob die Peeks schmaler werden...

Das Zentrum des Peeks ist $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ .

Sooo...

$\begin{eqnarray*} \mu = 1,2,3,... \end{eqnarray*}$ --> steigt linear
Flächeninhalt soll mindestens quadratisch sinken (die harmonische Reihe konvergiert ja noch nicht), daher setze ich: $\begin{eqnarray*} \sigma = \frac{1}{\mu^3} \end{eqnarray*}$

Mein Peek bleibt immer gleich groß. Daher muss ich noch proportional zu $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ normieren. Damit sinkt die Potenz im Nenner des Flächeninhalts um 1 (was für ein zufälliges Glück, dass ich mit der dritten Potenz angesetzt hatte...)

Den ganzen Brocken summiere ich über $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und erhalte:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{\mu=1}^\infty~: \mu \exp\left(-\frac {1}{2} \left(\mu^3(x-\mu)\right)^2\right) \end{eqnarray*}$

edit: Darf ich das unendlich aufs Dacht der Summe setzen? Ich will mich nicht stundenlang an dieser Aufgabe abgeplagt haben und dann den (einzigen) Punkt wieder abgezogen bekommen, weil die Herren Mathematiker aus der Ana3 es nicht in Ordnung finden eine Funktion mit diesem Zeichen zu definieren. Die Alternative wäre n und Limes... Aber ob das dann schöner ist in der Definition einer Funktion...

21.10.2008, 20:05

WebFritzi

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Ich hab mir das jetzt nicht genau durchgelesen, aber warum nimmst du nicht einfach - wie von mir bereits vorgeschlagen - eine stückweise lineare Funktion? Ist doch viel einfacher.

22.10.2008, 17:17

Zellerli

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Stückweise linear? Was ist das? Klingt nicht nach stetig und uneigentlich Riemann integrierbar.

Die elegantere Lösung habe ich heute kennen gelernt...

$\begin{eqnarray*} f(x) = x \cdot \sin{(x^3)} \end{eqnarray*}$

22.10.2008, 17:24

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Zellerli
Die elegantere Lösung habe ich heute kennen gelernt...

$\begin{eqnarray*} f(x) = x \cdot \sin{(x^3)} \end{eqnarray*}$

Anstatt dieser Sinusfunktion könntest du auch einfach jedes Maximum mit dem "nächsten" Minimum und jedes Minimum mit dem "nächsten" Maximum dieser Funktion durch eine Strecke verbinden. So erhältst du genau das, was Webfritzi meint. Eine stückweise affine Funktion (die in diesem Fall natürlich stetig und ebenfalls auch uneigentlich integrierbar ist, was man ähnlich einsieht wie beim Sinus auch).

22.10.2008, 17:41

Zellerli

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Eben so ein Zick Zack hab ich befürchtet Augenzwinkern

Wieso ist so eine Funktion stetig? Da hab ich doch (nehmen wir das Beispiel) an der Stelle $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{\frac{3 \pi}{2}} \end{eqnarray*}$ (das ist der x-Wert für das "erste" Minimum kleiner 0) eine hässliche Ecke drin.

edit: Hier mal der Graph

22.10.2008, 17:44

tmo

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Die Betragsfunktion hat doch auch eine Ecke und ist stetig. Die ist dann nicht differenzierbar. Aber stetig ist sie sicherlich.

22.10.2008, 18:03

Zellerli

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Danke für das anschauliche Beispiel Augenzwinkern

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f Riemann-integrierbar --> f beschränkt (?)

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