Schnittpunkt zweier Bezierkurven

18.10.2008, 16:01

rawsoulstar

Schnittpunkt zweier Bezierkurven

Hallo zusammen,

ich beschäftige mich in meiner Freizeit mit computergenerierten Grafiken.
Vier quadratische Bezierkurven haben gemeinsam zwei Berühr-/Schnittpunkte.
[attach]8899[/attach]
Ich möchte den Schnittpunkt dieser Kurven berechnen, um eine Strecke zwischen den beiden Punkten ziehen zu können.
Die Software, mit welcher ich diese Kurven zeichne, bietet bereits eine Funktion zum Zeichnen solcher, daher habe ich bis jetzt jeder Rechnung ausweichen können Augenzwinkern

Wikipedia definiert die quadratische Bezierkurve so:
$\begin{eqnarray*} C(t) = (1 - t)^{2}P_0 + 2t(1 - t)P_1 + t^{2}P_2 \mbox{ , } t \in [0,1] \end{eqnarray*}$
Mir ist klar, dass ich meine drei Ankerpunkte für jeweils zwei Kurven einsetzen kann, um sie dann auflösen zu können, allerdings kann ich mit dem Parameter t nichts anfangen, da dieser eine wechselnde Variable ist. Der Punkt, an dem alle Kurven zusammenlaufen, ist mir bekannt.

Wie gehe ich das Problem am besten an?

Für jeden Tipp bin ich dankbar smile

LG,
Frank.

//Edit: Huch, ich habs doch in das gymnasiale Analysis geschrieben :o Kann gelöscht werden, entschuldigt.
//Edit2: Nein, wurde wohl vom Mod verschoben Augenzwinkern

Danke.

20.10.2008, 18:09

rawsoulstar

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*bumpt unverschämt*

21.10.2008, 12:23

riwe

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na das ist/ sind doch der/die parameter, die du dabei veriieren mußt.
du mußt sie für jede kurve anders benennen.

so hast du z.b. im bilderl den schnittpunkt der beiden kurven für

$\begin{eqnarray*} s\approx 0.32\quad{ } t\approx 0.49 \end{eqnarray*}$

21.10.2008, 22:33

rawsoulstar

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Danke dafür, aber wie gehe ich rechnerisch daran? Ich stelle die Definitionen also gleich.
$\begin{eqnarray*} (1-s)^2P_0+2s(1-s)P_1+s^2P_2=(1-t)^2Q_0+2t(1-t)Q_1+t^2Q_3 \end{eqnarray*}$
Nun möchte ich in Abhängigkeit der Punkte P und Q an den exakten Schnittpunkt kommen. Ich habe schließlich 2 Variablen, s und t.

21.10.2008, 22:39

riwe

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Zitat:

Original von rawsoulstar
Danke dafür, aber wie gehe ich rechnerisch daran? Ich stelle die Definitionen also gleich.
$\begin{eqnarray*} (1-s)^2P_0+2s(1-s)P_1+s^2P_2=(1-t)^2Q_0+2t(1-t)Q_1+t^2Q_3 \end{eqnarray*}$
Nun möchte ich in Abhängigkeit der Punkte P und Q an den exakten Schnittpunkt kommen. Ich habe schließlich 2 Variablen, s und t.

und 2 komponenten x und y smile

nur als beispiel samt numerischer lösung

21.10.2008, 23:10

rawsoulstar

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$\begin{eqnarray*} \text{Mit~$P_0=Q_0=(0|0)$:}\\2s(1-s)P_1+s^2P_2=2t(1-t)Q_1+t^2Q_3\\2sP_1-2s^2P_1+s^2P_2=2tQ_1-2t^2Q_1+t^2Q_3\\s(2P_1-2sP_1+sP_2)=2tQ_1-2t^2Q_1+t^2Q_3\\\text{Und~nun?} \end{eqnarray*}$
Entschuldige, ich bin noch Schüler und so weit sind wir jetzt auch noch nicht :P

22.10.2008, 00:15

riwe

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Zitat:

Original von rawsoulstar
$\begin{eqnarray*} \text{Mit~$P_0=Q_0=(0|0)$:}\\2s(1-s)P_1+s^2P_2=2t(1-t)Q_1+t^2Q_3\\2sP_1-2s^2P_1+s^2P_2=2tQ_1-2t^2Q_1+t^2Q_3\\s(2P_1-2sP_1+sP_2)=2tQ_1-2t^2Q_1+t^2Q_3\\\text{Und~nun?} \end{eqnarray*}$
Entschuldige, ich bin noch Schüler und so weit sind wir jetzt auch noch nicht :P

$\begin{eqnarray*} 2s(1-s)x_1+s^2x_2=2t(1-t)x_1+t^2x_3\\2s(1-s)y_1+s^2y_2=2t(1-t)y_1+t^2y_3 \end{eqnarray*}$

2 unbekannte, 2 gleichungen, wie schon oben hingemalt smile

ich gehe davon aus, dass du die anderen punkte auch kennst

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