Bijektive Abbildung

18.10.2008, 16:30

Bijektion

Bijektive Abbildung

Wie könnte ich eine bijektive Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ basteln? Das müsste man wahrscheinlich irgendwie abschnittsweise definieren?

18.10.2008, 16:31

tigerbine

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RE: Bijektive Abbildung
verwirrt

Wie wäre es mit der Identität

$\begin{eqnarray*} f:~\mathbb N \to \mathbb N:~f(n)=n \end{eqnarray*}$

18.10.2008, 16:52

Jacques

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Hallo Bijektion,

Ist nicht eher eine bijektive Abbildung von N nach Z gesucht oder so? Augenzwinkern

Falls ja:

bijektive Abbildung von Z-->N

18.10.2008, 17:27

Bijektion

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Nein, es ist so wie ich geschrieben habe. Und sorry tigerbine, es soll (leider) explizit nicht die Identität sein...

18.10.2008, 17:31

tigerbine

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Dann hättest du das eben auch sagen müssen. Big Laugh

Wenn es nicht dasteht, war doch klar dass man mit der Identität antwortet.

Andere Idee: Vertausche gerade und ungerade Zahlen.

18.10.2008, 18:17

Bijektion

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Danke.

18.10.2008, 19:42

Bijektion

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Kleine Frage noch (nicht direkt dazu): Damit eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: A \mapsto B \end{eqnarray*}$ injektiv sein kann, muss doch gelten $\begin{eqnarray*} |A|\leq |B| \end{eqnarray*}$ , d.h. letzteres muss eine notwendige Bedingung für erstes sein? Oder habe ich da einen Denkfehler gemacht?

18.10.2008, 20:45

WebFritzi

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Nein, du hast keinen Denkfehler gemacht.

21.10.2008, 11:26

Fragend

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Hallo, ich hab auch die Aufgabe gestellt bekommen und mir mal eine Lösung überlegt und wollte gerne wissen ob man das so machen darf bzw. ob das so richtig ist:

f:\mathbb N ->\mathbb N und soll bijektiv sein, nicht die Identität

Daraus folgt ja
f(n)\neq n
und f muss sowohl injektiv, als auch surjektiv sein

f(x)=3x-2 |1\leq x\leq2,
f(x)=3x-7 |3\leq x\leq4,
f(x)=3x-12 |5\leq x\leq6,
f(x)= x | 5\leq x\leq\infty

vielen Dank schonmal im vorraus

21.10.2008, 11:32

Fragend

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Hallo, ich hab auch die Aufgabe gestellt bekommen und mir mal eine Lösung überlegt und wollte gerne wissen ob man das so machen darf bzw. ob das so richtig ist:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb N ->\mathbb N \end{eqnarray*}$ und soll bijektiv sein, nicht die Identität

Daraus folgt ja
$\begin{eqnarray*} f(n)\neq n \end{eqnarray*}$
und f muss sowohl injektiv, als auch surjektiv sein

$\begin{eqnarray*} f(x)=3x-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1\leq x\leq2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=3x-7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3\leq x\leq4, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=3x-12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5\leq x\leq6, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)= x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5\leq x\leq\infty \end{eqnarray*}$

Vielen Dank schonmal im vorraus
und sry für den Doppelpost, hab dieses latex vergessen^^

21.10.2008, 15:16

Jacques

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Hallo,

Das Konzept ist natürlich richtig, aber sehr umständlich. Einzelne Umformungen kannst Du doch einfach „per Hand“ machen. Für einige wenige Zahlen braucht man doch keine eigene Funktionsgleichung.

Einfach z. B.

$\begin{eqnarray*} f \colon \, n \mapsto \begin{cases} 2, & \textrm{falls } n = 1 \\ 1, & \textrm{falls } n = 2 \\ n, & \textrm{ansonsten } \end{cases} \end{eqnarray*}$

Wobei das alles irgendwie schon „Mogelei“ ist, die Idee ist ja allzu banal. Ich finde tigerbines Vorschlag vernünftiger.

Zitat:

Original von Fragend

$\begin{eqnarray*} f(x)= x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5\leq x\leq\infty \end{eqnarray*}$

Also statt $\begin{eqnarray*} 5 \leq x \leq \infty \end{eqnarray*}$ würde ich lieber $\begin{eqnarray*} x \geq 7 \end{eqnarray*}$ schreiben, sonst belegst Du die 5 und die 6 ja unnötigerweise doppelt. Und die Schreibweise mit dem Unendlichkeits-Symbol ist schlampig, vor allem weil Du $\begin{eqnarray*} x = \infty \end{eqnarray*}$ zulässt!

Was soll $\begin{eqnarray*} x \leq \infty \end{eqnarray*}$ denn bedeuten?

21.10.2008, 16:33

Fragend

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Hallo, danke erstmal Freude

ich meinte natürlich 7, habe ausversehen 5 hingeschrieben^^

Tigerbienes Vorschlag verstehe ich nicht so ganz, wie sollte denn so eine Funktion aussehen, wo man das vertauscht?

Es wurde uns ja auch ein Lösungshinweis gegeben, die Funktion mit so einer Zerstückelung anzugeben, auch wenn mri klar ist, dass dies nicht so toll aussieht

und x< unendlich ok, das stimmt natürlich Big Laugh

21.10.2008, 16:39

Jacques

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Zitat:

Original von Fragend

Tigerbienes Vorschlag verstehe ich nicht so ganz, wie sollte denn so eine Funktion aussehen, wo man das vertauscht?

Die geraden Zahlen sollen ja auf die ungeraden und die ungeraden auf die geraden Zahlen abgebildet werden:

$\begin{eqnarray*} f\colon\, n \mapsto \begin{cases}?, & \textrm{falls n ungerade}\\ ?, & \textrm{falls n gerade} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Und was muss an die Stelle der Fragezeichen? Überlege Dir doch mal ein paar Zuordnungen: f(1) = ?, f(3) = ?, ... und f(2) = ?, f(4) = ?, ...

21.10.2008, 16:56

Fragend

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falls n gerade: n-1
falls n ungerade: n+1

also würde daraus folgen

f(1)=2
f(3)=4
f(2)=1
f(4)=3

Habe ich das jetzt so richtig ausgeführt? verwirrt

21.10.2008, 16:58

Jacques

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Vollkommen richtig. Freude

Das ist die korrekte Funktionsvorschrift -- wobei man noch dazuschreiben sollte, dass man die 0 nicht zu den natürlichen Zahlen rechnet.

[attach]8914[/attach]

21.10.2008, 17:04

Fragend

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Ok, ich danke dir für deine Hilfe, hat mir gut weitergeholfen, um diese Aufgabe zu lösen Freude

Hier im Forum bekommt man echt schnell und gut Hilfe, ich registriere mich glaube mal smile

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