Beweis natürliche/rationale Zahlen

18.10.2008, 18:05

seo08

Beweis natürliche/rationale Zahlen

Sei $\begin{eqnarray*} d \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl, die das Quadrat einer rationalen Zahl $\begin{eqnarray*} \xi \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sei: $\begin{eqnarray*} d = \xi^2 \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray*} d = n^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt. OBdA ist $\begin{eqnarray*} \xi \geq 0 \end{eqnarray*}$ .
Sei m die kleinste natürliche Zahl mit $\begin{eqnarray*} m\cdot \xi \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m > 0 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sei die kleinste natürliche Zahl mit $\begin{eqnarray*} \xi \leq n \end{eqnarray*}$ .

(a) Warum existiert diese?

Setze $\begin{eqnarray*} p = m(\xi - n + 1) \end{eqnarray*}$ . Zeige:

(b) $\begin{eqnarray*} p \in\mathrm N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 < p \leq m \end{eqnarray*}$ ;
(c) $\begin{eqnarray*} p \cdot \xi \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ;
(d) $\begin{eqnarray*} p = m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \xi = n \end{eqnarray*}$

Noch eine Anmerkung: Unser Prof definiert \mathbb $\begin{eqnarray*} N := \{1,2,3,...\} \end{eqnarray*}$
Das Einzige was mir einfällt, ist dass $\begin{eqnarray*} d \geq 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \xi^2 \geq 0. \end{eqnarray*}$

Nach Vorraussetzung sei $\begin{eqnarray*} \xi =\frac{a}{b}\in \mathbb Q, a,b \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist jetzt also $\begin{eqnarray*} \xi^2 = n^2? \end{eqnarray*}$

18.10.2008, 18:08

tmo

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Zu zeigen ist zunächst, dass das das Quadrat einer positiven rationalen Zahl nur natürlich ist, wenn die Zahl selbst auch natürlich ist.

18.10.2008, 18:30

seo09

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(nicht wegen dem Usernamen wundern, ich hab noch keine Aktivierungsmail bekommen...)

Also $\begin{eqnarray*} \xi^2 \in \mathbb N? \end{eqnarray*}$

18.10.2008, 18:33

tmo

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Das ist doch Vorraussetzung.

Eher geht es darum $\begin{eqnarray*} \xi \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ zu beweisen.

18.10.2008, 18:39

seo09

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Ich glaube ich habe grad eine lange Leitung...

Es ist doch $\begin{eqnarray*} \xi \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nach Vor.

Mir fehlt im Moment komplett der Ansatz.

18.10.2008, 18:53

seo09

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Eine natürliche Zahl beweise ich ja über die Peanoaxiome. Nur leider weiß ich nicht, wie ich dadurch zeigen kann, dass $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ natürlich und nicht rational sein muss.

18.10.2008, 18:54

tmo

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Es ist $\begin{eqnarray*} \xi^2 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \xi \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nach Vorraussetzung.

Also gilt $\begin{eqnarray*} \xi = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit natürlichen teilerfremden p,q. Jetzt nehme $\begin{eqnarray*} q \neq 1 \end{eqnarray*}$ an (Sprich: $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ist nicht natürlich) und zeige, dass dann auch $\begin{eqnarray*} \xi^2 \end{eqnarray*}$ nicht natürlich ist.

18.10.2008, 19:17

seo09

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Leider haben wir bis jetzt nur Peano gemacht und mir fehlt komplett der Ansatz :/.

18.10.2008, 20:24

WebFritzi

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Du weißt aber, dass jede natürliche Zahl eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren besitzt?

19.10.2008, 14:59

seo09

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19.10.2008, 15:02

tmo

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Dann benutze dies. Wie gesagt: p und q sind natürliche Zahlen.

20.10.2008, 11:44

seo09

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Zitat:

Original von tmo
Es ist $\begin{eqnarray*} \xi^2 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \xi \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nach Vorraussetzung.

Also gilt $\begin{eqnarray*} \xi = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit natürlichen teilerfremden p,q. Jetzt nehme $\begin{eqnarray*} q \neq 1 \end{eqnarray*}$ an (Sprich: $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ist nicht natürlich) und zeige, dass dann auch $\begin{eqnarray*} \xi^2 \end{eqnarray*}$ nicht natürlich ist.

Wenn $\begin{eqnarray*} q \neq 1 \end{eqnarray*}$ heißt das, es gibt ein $\begin{eqnarray*} a \in mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p = nq \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} q=1 \end{eqnarray*}$ sein soll müsste ja $\begin{eqnarray*} n = q^{-1} \end{eqnarray*}$ sein. Wie soll ich das aber zeigen?

20.10.2008, 11:58

tmo

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Zitat:

Original von seo09

Wenn $\begin{eqnarray*} q \neq 1 \end{eqnarray*}$ heißt das, es gibt ein $\begin{eqnarray*} a \in mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p = nq \end{eqnarray*}$ .

Höö? Wie kann das denn sein? p und q sind doch teilerfremd.

20.10.2008, 18:46

seo0

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Mein Problem ist halt, ich verstehe sehr wohl was du meinst, aber ich hab keinen Schimmer wie ich zeigen soll, dass q nicht $\begin{eqnarray*} \neq 1 \end{eqnarray*}$ sein darf.

20.10.2008, 23:41

tmo

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Das ist doch Vorraussetzung.

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