Primzahl - Definition

18.10.2008, 21:27

Luchsinger

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Primzahl - Definition

Hi @ all!

Wenn ich formalisieren muss, dass die natürliche Zahl x1 prim ist, wie müsste man das beschreiben?

..ganz allgemein, wenn man eine Lösung hat, schreibt man zuerst (zB) "x E R" oder zuerst die Lösung, dann | x E R ?

Vielen Dank!

Edit (mY+): Titel verunglückt. Geändert.

18.10.2008, 21:32

system-agent

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Es kommt doch darauf an was definiert wurde.
Man kann zb. einfach $\begin{eqnarray*} x_1\in\mathbb P \end{eqnarray*}$ sagen, wobei $\begin{eqnarray*} \mathbb P \end{eqnarray*}$ genau für die Menge der Primzahlen steht.

18.10.2008, 22:09

Luchsinger

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hmm...also man darf die üblichen ganzen Zahlen benutzen, die Funktionssymbole +, - und *, Relationssymbole =, < mit den unendlichen Variablen x1, x2, .... und die üblichen logischen Zeichen einer Prädikatenlogik erster Stufe...

19.10.2008, 13:26

system-agent

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Wie ich sagte, es kommt darauf an was bisher definiert und bewiesen wurde.
Wenn die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ eingeführt wurde, darfst du die natürlich nutzen.
Wurden Primzahlen definiert? Wenn ja könntest du
$\begin{eqnarray*} \mathbb P:=\{p\in\mathbb Z\quad:\quad p\text{ Primzahl}\} \end{eqnarray*}$
definieren und dann ist das OK.
Wurden Primzahlen nicht definiert musst du das zuerst noch tun.

19.10.2008, 14:09

Luchsinger

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Also kann ich das etwa so schreiben:

IL = {x_1 E N : x_1 Primzahl}

(N, weil die Aufgabe "Formalisieren Sie "die natürliche Zahl x_1 is prim" lautet. )

Mit freundlichen Grüssen

19.10.2008, 17:09

Luchsinger

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andere Idee: :-)
kann ich für "die natürliche Zahl x_1 ist prim" folgendes schreiben:

IL = { 2, 3, x_1 : x_1 = 6k + 1 v x_1 = 6k -1 | k Element von N}

Stimmt dann die Aussage mit derjenigen von mir überein?

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19.10.2008, 17:38

Airblader

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Zitat:

Original von Luchsinger
IL = {x_1 E N : x_1 Primzahl}

Zum Einen beschreibst du damit die Menge der Primzahlen, nicht die Eigenschaft, dass x1 prim ist.
Bei der Aufgabenstellung sollst du den Begriff Primzahl wohl formalisiert definieren.

Zitat:

IL = { 2, 3, x_1 : x_1 = 6k + 1 v x_1 = 6k -1 | k Element von N}

Diese Definition ist völlig falsch.
Jede Primzahl größer 3 lässt sich zwar als 6k+1 oder 6k-1 schreiben, das heißt aber noch lange nicht, dass 6k+1 oder 6k-1 stets Primzahlen sind.
Beispiel für k=6 -> 6k-1 = 35 und das wird von 5 geteilt.
Oder auch k=5 -> 6k+1 = 25 wird ebenfalls von 5 geteilt.

air

19.10.2008, 19:14

system-agent

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Da du in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ arbeitest kann man die Primeigenschaft wie folgt formulieren:
" $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ist eine Primzahl genau dann, wenn für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n=p \end{eqnarray*}$ folgt".

Nun kannst du das bischen mathematischer Schreiben...

19.10.2008, 20:07

Luchsinger

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Vielen Dank!
Das heisst, dass es dann etwa so aussehen wird: (?)

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N \exists \frac{p}{n}: n=1 v \frac{p}{n}: p=n | p \in \mathbb N Primzahl \end{eqnarray*}$

19.10.2008, 20:52

system-agent

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Wieso sollte der Bruch existieren?
$\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ Primzahl $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall n\in\mathbb N:... \end{eqnarray*}$

19.10.2008, 21:01

ajax2leet

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Zitat:

Original von Luchsinger
Vielen Dank!
Das heisst, dass es dann etwa so aussehen wird: (?)

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N \exists \frac{p}{n}: n=1 v \frac{p}{n}: p=n | p \in \mathbb N Primzahl \end{eqnarray*}$

Das ist irgendwie ein wenig kryptisch.

Machs doch so:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P} \end{eqnarray*}$ sei die Menge aller Primzahlen

$\begin{eqnarray*} p \in \mathbb{P} \Leftrightarrow \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ...

Edit: zu spät smile

smile

19.10.2008, 21:06

Luchsinger

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...wie kann man es ohne Bruch schreiben?
..vielen Dank für den Anfang - der ist sehr gut nachvollziehbar! =)

19.10.2008, 21:09

system-agent

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Nun mach doch mal einen ersten Schritt:
$\begin{eqnarray*} \forall n\in\mathbb N:... \end{eqnarray*}$
Der Doppelpunkt soll ja "so, dass" oder "für welche" bedeuten.
OK, was soll nun für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gelten, damit das $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ein Prime sein kann?

19.10.2008, 21:17

Luchsinger

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n=p v n=1

... ? smile

smile

19.10.2008, 21:18

system-agent

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Ja, das ist der Schluss Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber du musst noch eine Bedingung finden, die das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ in Beziehung setzen, also so etwas wie " $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ".

19.10.2008, 21:31

Luchsinger

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kann ich das nicht eben mit dem Bruch machen?

p/n = P

19.10.2008, 21:36

system-agent

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Das Problem ist, der Bruch hat keine Bedeutung.
Es ist einfach ein Bruch.
" $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ " heisst in Formelsprache einfach " $\begin{eqnarray*} n|p \end{eqnarray*}$ ".
Anders könntest du mit dem Bruch etwas umständlich schreiben:
$\begin{eqnarray*} \forall n\in\mathbb N : (\frac{p}{n}\in\mathbb N\Rightarrow ...) \end{eqnarray*}$

27.10.2010, 16:32

Philipp007

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Hey,
ist zwar jetzt ein bisschen dreist. aber könnte vielleicht irgendwer mal die offizielle Lösung hinschreiben :P
MfG

27.10.2010, 20:24

Airblader

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Du hast recht, das ist dreist. Zu dreist für das hiesige Forenprinzip, das du dir mal durchlesen kannst.

air

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