orthogonale Matrix

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24.07.2006, 17:35

mstudent

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orthogonale Matrix

Hallo zusammen!!

wie zeige ich, dass $\begin{eqnarray*} (A^{T})^{T} = A \end{eqnarray*}$ ist?? verwirrt

$\begin{eqnarray*} A^{T} \end{eqnarray*}$ ist eine orthogonale Matrix

24.07.2006, 18:40

Ben Sisko

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RE: orthogonale Matrix
Ich nehm mal an, dass $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ die transponierte Matrix bezeichnet?

Dann ist da nicht viel zu zeigen, folgt direkt aus der Definition...
(und gilt übrigens für jede Matrix)

Gruß vom Ben

24.07.2006, 19:03

mstudent

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RE: orthogonale Matrix
nein, $\begin{eqnarray*} A^{T} \end{eqnarray*}$ heißt orthogonale Matrix (ich wusse nicht wie man Orthogonal-Zeichen einfügt...)
und ist definiert durch
$\begin{eqnarray*} A^{T} \end{eqnarray*}$ = { $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb F _{q} ^{n} ; <x,y> = 0 \forall y\in A \end{eqnarray*}$ }

24.07.2006, 19:30

WebFritzi

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So -> $\begin{eqnarray*} A^\perp \end{eqnarray*}$
Aber deine Definition ist mal kompletter Quatsch. Eine Matrix ist keine Menge!

24.07.2006, 19:34

mstudent

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ja hast recht das ist keine Matrix Hammer

aber ich dachte man könnte das als orthogonale Matrizen betrachten...

24.07.2006, 19:36

Dual Space

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Also mal ein Rettungsversuch der Definition von mstudent:

ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ vielleicht ein Unterraum (mit gewissen Eigenschaften) und $\begin{eqnarray*} A^\perp \end{eqnarray*}$ das orthogonale Komplement? Evtl. ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sogar Unterraum eines Raumes von (linearen) Funktionen?

Fragen über Fragen ... unglücklich

Wie auch immer ... WebFritzi hat schon ganz recht: So wie du es postest (und ich bin mir recht sicher, dass du gar nicht genau weißt, über was du da so redest) ist es vollkommener Quatsch!

24.07.2006, 19:41

WebFritzi

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Jo. Was genau ist jetzt dein $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ ???

24.07.2006, 19:52

mstudent

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also $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb F_{q} ^{n} \end{eqnarray*}$ ist ein Unterraum.
Für A heißt $\begin{eqnarray*} A^\perp \end{eqnarray*}$ := { $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb F_{q} ^{n} ; <x,y> = 0 \forall y \in A \end{eqnarray*}$ } der Orthogonalraum.
ich muss zeigen dass $\begin{eqnarray*} (A^\perp)^\perp = A \end{eqnarray*}$ ist.

Edited by Stefan: Ich hab mal aus dem $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} A^\perp \end{eqnarray*}$ gemacht, damit wir in der üblichen Schreibweise bleiben.

24.07.2006, 19:56

Dual Space

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Und wo hängst du denn in dem Beiwes? Fang doch einfach mal an!

Edit: Es sollte dir klar sein, dass trivialerweise $\begin{eqnarray*} (A^\perp)^\perp\subseteq A \end{eqnarray*}$ ist. Warum das so ist wirst du uns aber sicher gleich erklären. Augenzwinkern

Edit2: Nagut das "trivialerweise" nehm ich wieder zurück ... ganz unmittelbar, folgt es dann doch nicht.

24.07.2006, 19:58

mstudent

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Zitat:

Original von Dual Space
Und wo hängst du denn in dem Beiwes? Fang doch einfach mal an!

ja das ist ja mein Problem, ich weiß nicht womit ich anfangen muss traurig

24.07.2006, 20:07

Dual Space

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Zitat:

Original von mstudent
ja das ist ja mein Problem, ich weiß nicht womit ich anfangen muss traurig

Du könnstest zum Bsp. anfangen zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (A^\perp)^\perp\subseteq A \end{eqnarray*}$ ist und anschließend, dass $\begin{eqnarray*} A\subseteq (A^\perp)^\perp \end{eqnarray*}$ ist.

Tip: Bedenke, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}^n_q \end{eqnarray*}$ (was ist eigentlich der untere Index "q"? ) abgeschlossen ist.

24.07.2006, 20:17

mstudent

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Zitat:

Original von Dual Space
was ist eigentlich der untere Index "q"?

$\begin{eqnarray*} q = p^{r} \end{eqnarray*}$ eine Primzahlpotenz

24.07.2006, 20:22

mstudent

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Zitat:

Original von Dual Space

Du könnstest zum Bsp. anfangen zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (A^\perp)^\perp\subseteq A \end{eqnarray*}$ ist und anschließend, dass $\begin{eqnarray*} A\subseteq (A^\perp)^\perp \end{eqnarray*}$ ist.

soll ich 3 Axiome vo Unterraum nachweisen?? verwirrt

Also dass
1) 0 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$
2) x, y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A ---> x+y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A
3) a*x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A
??

24.07.2006, 20:31

Dual Space

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Zitat:

Original von mstudent
$\begin{eqnarray*} q = p^{r} \end{eqnarray*}$ eine Primzahlpotenz

Und was hat das mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}^n_q \end{eqnarray*}$ zu tun?

Zitat:

Original von mstudent
soll ich 3 Axiome vo Unterraum nachweisen?? verwirrt

Wie kommst du denn darauf? Wie zeigt man den ganz allgemein für bel. Mengen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ , dass z.B. $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ ist?

24.07.2006, 20:37

mstudent

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Zitat:

Original von Dual Space

Und was hat das mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}^n_q \end{eqnarray*}$ zu tun?

Zitat:

Wie kommst du denn darauf? Wie zeigt man den ganz allgemein für bel. Mengen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ , dass z.B. $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ ist?

man nimmt ein Element x aus A und zeigt, dass x auch in B liegt oder?

24.07.2006, 20:39

WebFritzi

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Ja. Tu das doch einfach...

24.07.2006, 20:43

Dual Space

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Also an all die begnadeten Algebraiker da draußen:

Was bedeutet denn nun das "q" bei $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}^n_q \end{eqnarray*}$ ? Unser Threadsteller weiß das offenbar auch nicht!

Zitat:

Original von WebFritzi
Ja. Tu das doch einfach...

Tjoa ... wo Fritzi recht hat, hatt er recht. Also mstudent: RAN ANS WERK! Augenzwinkern

24.07.2006, 20:57

mstudent

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wie sieht denn A aus??
so?? --> A = { $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb F_{q} ^{n}; <x,y> \neq 0 \forall y \in A \end{eqnarray*}$ }

.......

$\begin{eqnarray*} \mathbb F_{q} ^{n} \end{eqnarray*}$ ist der n-dimensionale $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{q} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum der Vektoren der Länge n. Und q ist die Anzahl der Elemente

25.07.2006, 01:05

Dual Space

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A ist ein (beliebiger(?)) Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}^n_q \end{eqnarray*}$ , genaueres findest du in der Aufgabe.

Aber eigentlich ist das auch ziemlich egal, wie A aussieht (auf jeden Fall nicht so wie du ihn beschreiben willst!), denn wenn du dir die einschlägigen Sätze zu diesem Thema anschaust (und das würde ich dir dringenst empfehlen), wirst du feststellen, dass die wichtigen Voraussetzungen an das "Universum" (also in deinem Fall $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}^n_q \end{eqnarray*}$ ) gestellt werden.

25.07.2006, 12:42

WebFritzi

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Es ist ganz einfach. Beweise folgendes:
$\begin{eqnarray*} A = \{x : \langle x,y\rangle = 0 \;\text{ für alle }\;y\in A^\perp\}. \end{eqnarray*}$
Dann bist du fertig, denn das, was auf der rechten Seite steht, ist offensichtlich $\begin{eqnarray*} (A^\perp)^\perp. \end{eqnarray*}$

Edited by Stefan: $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$

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