Integral zu WURZEL (2-4x²)

25.07.2006, 00:34	Trauriger Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral zu WURZEL (2-4x²) HALLO! Ich habe große Schwierigkeiten auf bei Integralen des folgenden Typs auf die richtige Lösung zu kommen...ich schreibe mal meinen Weg auf und hoffe es findet sich jemand, der mir das dann Schritt für Schritt erklären kann was ich falsch gemacht habe $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\sqrt{3-4x^{2}}~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I = \int_{}^{}~\sqrt{3(1-\frac{4x^{2}}{3})}~dx = \sqrt{3} \int_{}^{}~\sqrt{1-(\frac{2x}{\sqrt{3}})^{2}}~dx \end{eqnarray}$ so jetzt mache ich eine Substitution: $\begin{eqnarray} \sin(t)= \frac{2x}{\sqrt{3}} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin(t) \Rightarrow \frac{dx}{dt}= \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cos(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t = arcsin(\frac{2x}{\sqrt{3}}) \end{eqnarray}$ Es folgt: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\sqrt{3-4x^{2}}~dx = \sqrt{3}\cdot \int_{}^{}~\sqrt{1-\sin²(t)} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(t)~dx \end{eqnarray}$ So...der Ausdruck $\begin{eqnarray} \sqrt{1-\sin²(t)} \end{eqnarray}$ ist gleich $\begin{eqnarray} \sqrt{\cos²(t)} = \cos(t) \end{eqnarray}$ weiter erhalte ich dann: $\begin{eqnarray} \frac{3}{2} \cdot \int_{}^{}~\cos²(t)~dx = \frac{3}{8} \cdot \sin(2t)+\frac{t}{2} \end{eqnarray}$ sooo...wenn ich für t nun meine Substitution von oben einsetze komme ich nicht wirklich auf das richtige Ergebnis...habe es mit Mathcad geprüft...komme einfach nicht zufuß auf die richtige Lösung. Vielleicht mache ich es mir auch zu schwer...keine Ahnung...BITTE um HILFE für diesen Integraltyp.
25.07.2006, 00:40	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, nicht traurig sein, die korrekte Substitution hast du doch schon mal gefunden! Bis zu deiner Stammfunktion sollte auch noch alles richtig sein, danach bin ich mir nicht ganz sicher, wie du auf diese kommst - ich vermute, du hast irgendwelche Additionstheoreme auf den cos^2 losgelassen (welche denn?), könnte es sein, dass deine und mathcads Lösungen sich mit eben solchen Theoremen auch ineinander überführen lassen? Ich hätte das letzte Integral anders berechnet, bei Trigonomies führen aber oft viele Wege nach Rom. Die Idee ist also völlig richtig mit deiner Substitution, da kannst du höchstens noch über Rechenfehler stolpern.
25.07.2006, 00:56	Trauriger Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm... Hallo...danke für die schnelle Antwort...mich würde interessieren, wie du das letzte Integral gerechnet hast!
25.07.2006, 01:00	Trauriger Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja...meine auf den Kosinus habe ich folgendes Theorem losgelassen: $\begin{eqnarray} \cos²(x) = \frac{1}{2} [1 + \cos(2x)] \end{eqnarray}$
25.07.2006, 01:33	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, die Add.theoreme kann ich eben nicht. Ein Fehler noch bei dir: die "t/2" müssen auch noch mit den "3/2" multipliziert werden! Davon abgesehen, sollte deine Stammfunktion aber stimmen. [Ich hätte das Integral über cos^2 übrigens mit partieller Integration berechnet (nach dem ersten Schritt bleibt rechts das Integral über "sin^2" über. Das ersetze man wieder mit "1-cos^2" und dann kannst du nach dem Integral von cos^2 auflösen. Das gibt dann aber natürlich (bis evtl auf additive Konstante) eine entsprechende Stammfunktion zu deiner.]

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