Injektiv, surjektiv, bijektiv (2)

19.10.2008, 13:12

Musti

Injektiv, surjektiv, bijektiv (2)

Prüfe welche der folgenden Abbildungen $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2\mapsto \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ injektiv bzw. surjektiv bzw. bijektiv sind:

1. $\begin{eqnarray*} f(x,y)=(x+y^2,y+2) \end{eqnarray*}$

Zeige: f injektiv.
Seien $\begin{eqnarray*} (x,y),(x',y')\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=f(x',y') \end{eqnarray*}$ dann gilt $\begin{eqnarray*} (x,y)=(x',y') \end{eqnarray*}$

I: $\begin{eqnarray*} x+y^2=x'+y'^2 \end{eqnarray*}$
II: $\begin{eqnarray*} y+2=y'+2 \end{eqnarray*}$

Aus (II) folgt: $\begin{eqnarray*} y=y' \end{eqnarray*}$
Somit gilt: I: $\begin{eqnarray*} x+y^2=x'+y^2\Rightarrow x=x' \end{eqnarray*}$ . Also f injektiv.

Zeige f surjektiv:
$\begin{eqnarray*} \forall(a,b)\in\mathbb R^2 \exists (x,y)\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=(a,b) \end{eqnarray*}$

I: $\begin{eqnarray*} x+y^2=a \end{eqnarray*}$
II: $\begin{eqnarray*} y+2=b \end{eqnarray*}$

Aus (II) folgt: $\begin{eqnarray*} y=b-2 \end{eqnarray*}$
y in (I) eingesetzt ergibt: $\begin{eqnarray*} x=a-(b-2)^2 \end{eqnarray*}$

Es gilt: $\begin{eqnarray*} f((a-(b-2)^2),b-2)=(a,b) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} f(x,y)=(xy,x+y) \end{eqnarray*}$
Zeige f nicht injektiv:
Seien $\begin{eqnarray*} (x,y),(x',y')\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=f(x',y') \end{eqnarray*}$ so gilt $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq (x',y') \end{eqnarray*}$

Wähle dazu: $\begin{eqnarray*} (x,y)=(1,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x',y')=(0,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(1,0)=(1\cdot 0,1+0)=(0,1)=f(0,1)=(0\cdot 1,0+1) \end{eqnarray*}$

Zeige f surjektiv:
$\begin{eqnarray*} \forall (a,b)\in \mathbb R^2 \exists (x,y)\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=(a,b) \end{eqnarray*}$

Aus der 2ten Komponente folgt: $\begin{eqnarray*} y=b-x \end{eqnarray*}$

y eingesetzt in die erste Komponente ergibt: $\begin{eqnarray*} a=x\cdot (b-x)=-x^2+bx\Rightarrow x^2-bx+a=0\Rightarrow x_{1,2}=\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-a} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \frac{b^2}{4}\geq a \end{eqnarray*}$ ist f surjektiv.

3. $\begin{eqnarray*} f(x,y)=(x-y,x^2-y^2) \end{eqnarray*}$
Zeige f nicht injektiv:
Seien $\begin{eqnarray*} (x,y),(x',y')\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=f(x',y') \end{eqnarray*}$ dann gilt: $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq (x',y') \end{eqnarray*}$

Wähle $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x',y')=(1,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0,0)=(0-0,0^2-0^2)=(0,0)=f(1,1)=(1-1,1^2-1^2) \end{eqnarray*}$

Zeige f surjektiv:
$\begin{eqnarray*} \forall (a,b)\in \mathbb R^2 \exists (x,y)\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=(a,b) \end{eqnarray*}$

Aus der ersten Komponente folgt: $\begin{eqnarray*} x=a+y \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die zweite Komponente erhalten wir:
$\begin{eqnarray*} b=(a+y)^2-y^2=a^2+2ay \Rightarrow y=\frac{b-a^2}{2a} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

19.10.2008, 14:02

tmo

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RE: Injektiv, surjektiv, bijektiv (2)
Die 1 ist zufriedenstellend gelöst.

Zitat:

Original von Musti
2. $\begin{eqnarray*} f(x,y)=(xy,x+y) \end{eqnarray*}$
Zeige f nicht injektiv:
Seien $\begin{eqnarray*} (x,y),(x',y')\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=f(x',y') \end{eqnarray*}$ so gilt $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq (x',y') \end{eqnarray*}$

Das widerum ist Schwachsinn. Es gibt zwar solche $\begin{eqnarray*} (x,y) , (x',y') \end{eqnarray*}$ , aber hier drückst du es falsch aus. Das hört sich ja so an als wär das immer so. Wenn du zeigen willst, dass f nicht injektiv ist, gib einfach ein einziges Gegenbeispiel an. Ruhig einfach irgendwelche Zahlen. Nix mit Variablen oder so Augenzwinkern

Zitat:

Original von Musti
Zeige f surjektiv:
$\begin{eqnarray*} \forall (a,b)\in \mathbb R^2 \exists (x,y)\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=(a,b) \end{eqnarray*}$

Aus der 2ten Komponente folgt: $\begin{eqnarray*} y=b-x \end{eqnarray*}$

y eingesetzt in die erste Komponente ergibt: $\begin{eqnarray*} a=x\cdot (b-x)=-x^2+bx\Rightarrow x^2-bx+a=0\Rightarrow x_{1,2}=\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-a} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \frac{b^2}{4}\geq a \end{eqnarray*}$ ist f surjektiv.

Was soll denn der letzte Satz bedeuten? Für Surjektivität müsste doch jedes $\begin{eqnarray*} (a,b) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ im Bild sein. Man kann aber leicht ein solches (a,b) angeben, dass nicht drinliegt.

Zitat:

Original von Musti
3. $\begin{eqnarray*} f(x,y)=(x-y,x^2-y^2) \end{eqnarray*}$
Zeige f nicht injektiv:
Seien $\begin{eqnarray*} (x,y),(x',y')\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=f(x',y') \end{eqnarray*}$ dann gilt: $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq (x',y') \end{eqnarray*}$

siehe oben.

Zitat:

Original von Musti
Zeige f surjektiv:
$\begin{eqnarray*} \forall (a,b)\in \mathbb R^2 \exists (x,y)\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=(a,b) \end{eqnarray*}$

Aus der ersten Komponente folgt: $\begin{eqnarray*} x=a+y \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die zweite Komponente erhalten wir:
$\begin{eqnarray*} b=(a+y)^2-y^2=a^2+2ay \Rightarrow y=\frac{b-a^2}{2a} \end{eqnarray*}$

Warum das Denken durch so ein Kochrezept ersetzen? Augenzwinkern

Wenn die erste Komponente des Bildes 0 sein soll. Wie siehts denn dann mit der zweiten aus?

19.10.2008, 17:16

Musti

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RE: Injektiv, surjektiv, bijektiv (2)
Zur 2) Da habe ich falsch gedacht, aber wie zeige ich ein (a,b) das nicht im Bild liegt?

Zu 3) Wenn die erste Komponente 0 sein soll, folgt daraus x=y
Somit müsste die zweite Komponente, wegen x²-y²=0 sein, aber was bringt mir das? Zeige ich so dass f surjektiv ist?

19.10.2008, 17:31

tmo

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Zur 2) Einfach eins angeben. Die 0 ist auch hier dein Freund.

zur 3) Aus $\begin{eqnarray*} (0,a) \in f(\mathbb R^2) \end{eqnarray*}$ folgt also direkt $\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ . Wie siehts dann mit Surjektivität aus?

19.10.2008, 17:43

Musti

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Zu 2) $\begin{eqnarray*} (a,b)=(1,0) \end{eqnarray*}$ liegt nicht im Bild:
Aber ich muss ja jetzt irgendwie zeigen, warum es nicht im Bild liegt, wie mache ich das?
Vielleicht so:
I: $\begin{eqnarray*} x\cdot y=1 \Rightarrow x=\frac{1}{y} \end{eqnarray*}$
II: $\begin{eqnarray*} x+y=\frac{1}{y}+y\neq 0 \end{eqnarray*}$

Zu 3) Das zeigt uns dass f surjektiv ist, aber wieso ganz genau weiß ich leider nicht.

19.10.2008, 17:47

tmo

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Ich würde es bei der 2 eher so zeigen:

Aus $\begin{eqnarray*} x+y=0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x=-y \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} xy = -x^2 \leq 0 \end{eqnarray*}$

Zur 3) Wie kommst du denn auf Surjektivität? (0,1) ist doch ganz sicher nicht im Bild.

19.10.2008, 18:05

Musti

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Ich bin gerade ein wenig durcheinander verwirrt

Aber ich muss mir das nochmal in Ruhe anschauen.
Also ist die 3) garnicht surjektiv, aber das hätte ich ja auch aus $\begin{eqnarray*} y=\frac{b-a^2}{2a} \end{eqnarray*}$ , dass für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ keine Surjektivität vorliegt und somit die Funktion nicht surjektiv ist oder?

19.10.2008, 18:12

tmo

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Zitat:

Original von Musti
Also ist die 3) garnicht surjektiv, aber das hätte ich ja auch aus $\begin{eqnarray*} y=\frac{b-a^2}{2a} \end{eqnarray*}$ , dass für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ keine Surjektivität vorliegt und somit die Funktion nicht surjektiv ist oder?

Ja das hättest du da merken können, dass da für a = 0 irgendwas nicht klappt.

Aber wie gesagt: Bevor du $\begin{eqnarray*} f(x,y) = (a,b) \end{eqnarray*}$ setzt und drauflosrechnest, würde ich mir die Abbildung einfach mal etwas genauer angucken und überlegen, ob dir nicht sofort irgendwas auffällt, weswegen man Surjektivität ausschließen kann. Ähnlich natürlich bei der Injektivität.

19.10.2008, 18:17

Musti

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Stimmt, dadurch spart man sich natürlich auch einiges an Zeit.

Jetzt gibt es noch eine weitere Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2+y^2}}, \frac{y}{\sqrt{1+x^2+y^2}} \right) \end{eqnarray*}$

Irgendwie weiß ich bei dem nichtmals wie ich anfangen soll, kann mir nicht vorstellen, ob es injektiv oder surjektiv ist.
Ich denke mal es ist injektiv, weil der Nenner immer größer, gleich 1 ist und somit derselbe Funktionswert für zwei verschiedene Werte nicht gilt.

Dann müsste ich so anfangen:

Seien $\begin{eqnarray*} (x,y),(x',y')\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=f(x',y') \end{eqnarray*}$ für die gilt: $\begin{eqnarray*} (x,y)=(x',y') \end{eqnarray*}$

Leider fällt es mir schwer irgendwie aus einer Komponente $\begin{eqnarray*} x=x' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=y' \end{eqnarray*}$ zu folgern, weswegen ich wiederum glaube dass es nicht injektiv ist.

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