Ing-Mathe... Fragen über Fragen

25.07.2006, 01:58

EN Y C

Ing-Mathe... Fragen über Fragen

Schönen guten Abend, ok Nacht!

Ich habe folgende Probleme:
(erstmal die Aufgabenstellungen)

Sei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \\ 4 & 6 & 9 & 11 & 2 \\ -2 & -3 & -6 & -7 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Geben Sie eine Basis der Spaltenraumes S(A) und des Nullraumes N(A) von A an.]
Gegeben: $\begin{eqnarray*} u^{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, u^{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, u^{3} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, a = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Bestimmen Sie den Punkt Pvb in V:= span { $\begin{eqnarray*} u^{1}, u^{2}, u^{3} \end{eqnarray*}$ }, der b am nächsten liegt. Berechnen Sie die Kleinste-Quadrat-Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} x1u^{1} + x2u^{2}, x3u^{3} = a \end{eqnarray*}$
Die symmetrische 3x3-Matrix A hat den Eigenwert 5 und erfüllt zusätzlich: $\begin{eqnarray*} A \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Geben Sie ein u $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 an, sodass $\begin{eqnarray*} A \cdot u = 5 \cdot u \end{eqnarray*}$ und berechnen Sie A.

Ich studiere kein Mathe, muss nur die Vorlesung Ing-Mathe bestehen ;-) Ich habe mich versucht etwas in die Themen einzulesen... Leider sind die meisten Erklärungen (Wiki etc.) sehr mathematisch-allgemein formuliert, sodass ich als "Nichtmathecrack" da nicht wirklich durchsteige... Ein Skript gibt es nicht und in der Vorlesung sind mir zu viele griechische Buchstaben, um das zu verstehen geschockt

Im "Papula" (Standardwerk) werdem die Themen teilweise auch gar nicht erst angesprochen (so wird zum Beispiel "Abbildung $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R ^{n} \Rightarrow \mathbb R ^{m} \end{eqnarray*}$ " zwar angesprochen, aber an keiner Stelle erwähnt, was man darunter zu verstehen hat...) Leider ist die Prüfung auch schon bedrohlich nahe, sodass ich mich nicht Ewigkeiten mit der Problematik beschäftigen kann... Also MANY THX für die Antworten!!!

25.07.2006, 02:02

EN Y C

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EDIT:

Es wäre sehr schön, wenn ich das erklärt bekäme, die tatsächliche Lösung der Aufgaben ist ziemlich unwichtig, ich muss das in der Klausur können! Nochmals many Gott

und gute Nacht!!!

25.07.2006, 02:14

JochenX

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Deine 3 Aufgaben wird dir hier keiner vorrechnen.
Wenn du das ganze verstehen willst, dann stelle konkretere Fragen, bzw. sag, woran es genau hängt und poste nicht einfach nur die Aufgaben.

Solche Aufgaben wie die erste z.B. laufen i.A. auf Gaußalgorithmus heraus, den du beherrschen solltest.
Überlege dir, was für eine Basis gelten muss, was überhauot für einen "Nullraum" gelten muss (ich nehme an, Nullraum=Kern) usf.

Wenn du diese grundlegenden Dinge weißt, kannst ja noch mal konkreter fragen.

25.07.2006, 11:43

EN Y C

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Ad 1:

nach Gaußelimination habe ich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Laut Forum muss für eine Basis gelten, dass ihr Vektoren linear unabhängig sind.

In der Lösung steht, dass:
A(:,j(1)) = A (:,1) und
A(:,j(2)) = A (:,3)

die Pivotspalten (?) von A und damit eine Basis des Spaltenraumes von A sind. Also ist:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 4 \\ 9 \\ -6 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Basis des Spaltenraums

Leider finde ich weder eine für mich verständliche Definition, was Pivotspalten sind, noch kann ich diese Rechnung nachvollziehen...

Genauso wenig komme ich auf die "Basis des Nullraums", die laut Lösung folgendes ist: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1/2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1/2 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -3/2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ad2:
das einzige, was ich in Erfahrungen bringen konnte:
V:= Span ist ein Spaltenraum...

Und zur Kleinsten-Quadrat-Lösung finde ich gar nix...

Ad3:
Kann diese Aufgabe ohne gegebene Matrix funktionieren?!? Ich finde keinen Ansatz...

Many Many THX für Antworten!

25.07.2006, 12:10

JochenX

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Bei deinem Gaußalgorithmus bleiben Abhängigkeiten zwischen den Spalten erhalten.
Da also am Ende "Spalte 3 + Spalte 4 = Spalte 5" gilt, gilt das auch schon am Anfang (nachprüfen!).
Damit kannst du am Ende also schnell rausfinden, wie die Vektoren zusammenhängen.
Insbesondere liegen die 2., 4., 5. Spalte offensichtlich im Erzeugnis der 1. und 3. Spalte, sind also für eine Basisangabe unnötig.
Pivotspalten sind genau die Treppenstufenspalten. Schepperts?

Basis des Nullraumes ist einfach eine Basis des Lösungraums zum LGS Matrix*Vektor=Nullvektor.
Mache deinen Gauß fertig (3. Spalte noch vereinfachen, erste Zeile durch 2 teilen), dann kannst du die angegebene Basis z.B. mit dem -1-Trick finden.

Erst mal soweit.

25.07.2006, 13:21

EN Y C

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Hi!! Erstmal vielen Dank für Deine Mühe (fast rund um die Uhr!!!)

Kann es sein, dass es
4.Spalte - 3.Spalte = 5.Spalte
heißen muss?!?

Zitat:

Insbesondere liegen die 2., 4., 5. Spalte offensichtlich im Erzeugnis der 1. und 3. Spalte, sind also für eine Basisangabe unnötig.

Hätte ich hier auch die 4. & die 5. Spalte zu Basisangabe beutzen können, da ich aus den beiden Spalten durch Linearkombination auch alle anderen Spalten darstellen kann, oder hab ich da einen Denkfehler?

Zitat:

Basis des Nullraumes ist einfach eine Basis des Lösungraums zum LGS Matrix*Vektor=Nullvektor.

also: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ respektive $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das als neue Matrix und dem -1 Trick führt mich dann zu:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann wäre mein Kern:

\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}

Sry, das scheine ich noch nicht verstanden zu haben...

25.07.2006, 13:28

JochenX

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Zitat:

Original von EN Y C
Kann es sein, dass es
4.Spalte - 3.Spalte = 5.Spalte
heißen muss?!?

ja, klar

wollte eigentlich 3. + 5. = 4. sagen, mein Fehler

Zitat:

Insbesondere liegen die 2., 4., 5. Spalte offensichtlich im Erzeugnis der 1. und 3. Spalte, sind also für eine Basisangabe unnötig.

völlig richtig, das wäre eine andere Basis gewesen, die den gleichen Raum aufspannt

Ne, mit deinem Kern das stimmt noch nicht; wieso hast du denn plötzlich nur noch 2 Spalten?
Setze deinen Gauß wie folgt fort:
(-4)*2.Zeile auf die erste Zeile (um den einen 4er zu eliminieren)
erste Zeile durch 2 teilen (um ganz vorne 1 zu machen)

JETZT ist der Gauß fertig, suche deine beiden Treppeneinser (das ist die an der Stelle 1-1 und die an der Stelle 2-3).
Ergänze Nullzeilen, so dass du eine quadratische Matrix erhältst und die beiden Treppenstufen auf der Diagonale stehen, also ergänze eine Nullzeile zwischen 1. und 2. Zeile.
Setze nun überall, wo keine 1 auf der Diagonalen steht eine -1.
Diese Spalten (mit -1) geben dir dann die Kernbasis.

25.07.2006, 14:41

EN Y C

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äußrst tolles System Tanzen

!!! Vielen lieben Dank! Gott

um dann zu Aufgabe 2 zu kommen...

Also Vorabüberlegung von mir ist folgende:
mein Schulwissen:
Eine Ebene im R³ ist durch 2 Spannvektoren und einen Ortsvektor gegeben.
(Also würde sich daraus eine 3x3 Matrix ergeben(?))
Kleinster Abstand Punkt-Ebene wäre der Betrag des zur Ebene orthogonalen Vektors...

Bei Aufgabe 2 gehen wir jetzt in den 4-dimensionalen Raum und haben im Endeffekt eine 4x4 Matrix (sofern die Überlegung oben richtig war).

Leider kommen hier bei der Vorlesung etc. die geometrischen Überlegungen in meinem Augen sehr kurz, sodass man nur Handwerkszeug zum Rechnen bekommt (Im Stil von "lautet die Aufgabe so und so, dann nimm die Formel, was Du da tust brauchst du nicht zu wissen") Mag auch an der begrenzten Fähigkeit der Vorstellungskraft ab >3dim. liegen...

Hier habe ich also noch großes "Lernpotential", um das mal positiv auszudrücken..., genau wie bei Aufgabe 3...

THX!!! EN Y C

25.07.2006, 18:40

JochenX

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Zitat:

Eine Ebene im R³ ist durch 2 Spannvektoren und einen Ortsvektor gegeben.
(Also würde sich daraus eine 3x3 Matrix ergeben(?))

ne, also ich sehe nicht ganz, wo du da eine Matrix herbekommen möchtest!?
Eine Ebene wird ja nicht durch irgendwelche Matrizen dargestellt, sondern als affiner Unterraum (hier sind es richtige Vektorräume, da Ursprung drin) als Menge von Linearkombinationen der Basisvektoren (gegebenenfalls, falls echte affine Räume noch mit einem "Aufvektor"/"Stützvektor"...).

Es geht hier darum, den kleinsten Abstand eines Punktes b zu einer Hyperebene im IR^4 (aufgespannt durch u1 bis u3) zu bestimmen.
Tatsächlich kannst du (wie in der Schule!) die senkrechte Richtung zur Hyperebene bestimmen und dann eine Gerade durch b mit dieser Hyperebene schneiden und so den Abstand zu berechnen.

Wenn ich mich recht entsinne, hat dir die Methode der kleinsten Quadrate da aber auch irgendwie weitergeholfen, schau dazu am besten noch mal in deinen Aufschrieb, was die genau macht.
Vielleicht kann da auch wer anders noch weiterhelfen, bei mir ist das grad zu lange her (und ich hab's vergessen).

26.07.2006, 00:52

EN Y C

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Zur Aufgabe 2 habe ich folgende Lösung bekommen

Da die Vektoren $\begin{eqnarray*} u^{1}, u^{2}, u^{3} \end{eqnarray*}$ ein Orthogonalsystem bilden, gilt:

$\begin{eqnarray*} Pva = \frac{u^{1}\cdot a}{u^{1}\cdot u^{1}} \cdot u^{1} + \frac{u^{2}\cdot a}{u^{2}\cdot u^{2}} \cdot u^{2} + \frac{u^{3}\cdot a}{u^{3}\cdot u^{3}} \cdot u^{3} \end{eqnarray*}$

Somit: $\begin{eqnarray*} Pva = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 6 \\ 10 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Scheint mir irgendwas mit der kleinsten Quadrate Methode zu tun zu haben, denn ich sehe keinen Zusammenhang zu der HNF, allerdings habe ich hier einen Link zur HNF im n-dimensionalen Raum gefunden:
klick

Leider beziehen sich alle Definitionen und Erklärungen zum Thema kleinste Quadratlösung, die ich gefunden habe immer auf die Regression bei gegebenen Punktwolken etc....
Und der Erklärung zur HNF im n-Dim. kann ich leider nicht ganz folgen (liegt wohl zum einen an der fortgeschrittenen Uhrzeit - Mathe all day... und an meinem begrenzten mathematischen Verständnis...)

Die Klausur ist Samstag... ich wäre also für jede baldige Hilfe mehr als dankbar!!! MANY THX EN Y C

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