Satz von Fubini Beispiel

19.10.2008, 16:57

physiker08

Satz von Fubini Beispiel

Hi!

Ich habe folgendes Problem gegeben:

$\begin{eqnarray*} \int_{\omega}^{}~(2x+y)~d(x,y) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ die von den Geraden x=0, y=0 und x+y = 3 begrenzte kompakte Teilmenge des reellen 2-D Zahlenraumes ist. Ich habe mir nun für $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ eine Skizze gemacht und $\begin{eqnarray*} \omega < [0,3] X [0,3] \end{eqnarray*}$ herausgefunden. Wie muss ich jetzt die Grenzen für $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ der jeweiligen Integrale unter Anwendung von Fubini wählen??

Danke schonmal für eure Antworten!

MfG

Matze

19.10.2008, 17:40

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Zitat:

Original von physiker08
und $\begin{eqnarray*} \omega < [0,3] X [0,3] \end{eqnarray*}$ herausgefunden.

Ich verstehe diese Symbolik nicht. unglücklich

Das Integrationsgebiet ist ein Dreieck, und zwar - wenn man es so sagen will - die "linke untere Hälfte" des Quadrates $\begin{eqnarray*} [0,3] \times [0,3] \end{eqnarray*}$ .

Wenn es das ist, was du sagen willst, dann hast du dich schon reichlich unklar ausgedrückt.

12.05.2009, 17:10

A.Stephan

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$\begin{eqnarray*} F(\Omega)=\int_{\Omega}~(2x+y)d (x,y) \end{eqnarray*}$

Dabei ist:

$\begin{eqnarray*} \Omega=\{(x,y) \in\mathbb R^{2}|0 \leq y \leq 3-x , 0 \leq x \leq 3\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist also ein Normalgebiet. Dies sieht man an anhand der Definition des xy-Normalgebietes:

$\begin{eqnarray*} N=\{(x,y) \in\mathbb R^{2}|a \leq x \leq b , f(x) \leq y \leq g(x)\} \end{eqnarray*}$

wobei f und g stetige (Rand-)Funktionen sind. Analog kann man auch ein yx-Normalgebiet definieren.

also folgt

$\begin{eqnarray*} F(\Omega)=\int_{\Omega}~(2x+y)d (x,y)=\int_{0}^{3}\int_{0}^{3-x}~(2x+y)~dydx=\int_{0}^{3}~\frac{3}{2}+x-\frac{1}{2}x^{2}~dx=\frac{9}{2} \end{eqnarray*}$

12.05.2009, 17:58

Leopold

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Es ist der Rauminhalt unterhalb des Graphen der Funktion

$\begin{eqnarray*} z = f(x,y) = 2x + y \end{eqnarray*}$

über dem Integrationsgebiet zu berechnen. $\begin{eqnarray*} 2x+y-z=0 \end{eqnarray*}$ beschreibt aber eine Ursprungsebene. Oberhalb von $\begin{eqnarray*} A=(3,0,0) \end{eqnarray*}$ liegt der Ebenenpunkt $\begin{eqnarray*} D=(3,0,6) \end{eqnarray*}$ , oberhalb von $\begin{eqnarray*} B=(0,3,0) \end{eqnarray*}$ der Ebenenpunkt $\begin{eqnarray*} C=(0,3,3) \end{eqnarray*}$ . Der Körper ist daher eine Pyramide mit dem rechtwinkligen Trapez $\begin{eqnarray*} ABCD \end{eqnarray*}$ als Grundfläche und dem Ursprung $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ als Spitze (Skizze machen).
Wenn man das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck $\begin{eqnarray*} ABO \end{eqnarray*}$ zu einem Quadrat ergänzt, erkennt man die Trapezhöhe $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ als Diagonale im Quadrat, sie hat also die Länge $\begin{eqnarray*} 3 \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Die parallelen Seiten des Trapezes haben die Längen $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ (dritte Koordinaten von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ). Das Trapez hat daher den Flächeninhalt

$\begin{eqnarray*} G = \frac{1}{2} \left( 6 + 3 \right) \cdot 3 \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Die Pyramidenhöhe $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist nichts anderes die halbe Diagonalenlänge im Quadrat von vorhin, also

$\begin{eqnarray*} h = \frac{3}{2} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Das gesuchte Volumen ist dann

$\begin{eqnarray*} V = \frac{1}{3} G h = \frac{27}{2} \end{eqnarray*}$

Oder anders: Man kann sich den Körper auch aus zwei Pyramiden zusammengesetzt denken, die erste mit $\begin{eqnarray*} ABO \end{eqnarray*}$ als Grundfläche und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ als Spitze, die zweite mit $\begin{eqnarray*} OBC \end{eqnarray*}$ als Grundfläche und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ als Spitze. Dann geht die Rechnung so:

$\begin{eqnarray*} V = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \right) \cdot 6 + \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \right) \cdot 3 = \frac{27}{2} \end{eqnarray*}$

Dieses Ergebnis widerspricht der Rechnung von A.Stephan.

12.05.2009, 19:46

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Ohne Rechenfehler kommt man mit

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{3}\int_{0}^{3-x} ~ (2x+y) ~ \dd y ~ \dd x = \int_{0}^{3} \Big[ 2xy+\frac{y^2}{2} \Big]_{y=0}^{3-x} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

natürlich auch zum Ziel. Fraglich nur, ob physiker08 sich nach einem halben Jahr noch dafür interessiert und hier reinschaut... Augenzwinkern

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