bestimmen einer summenformel

19.10.2008, 18:01

Taga

bestimmen einer summenformel

habe folgendes beispiel zu lösen und stehe bereits am anfang an

sei n ein element aus N . bestimmen sie eine summenformel für

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~i*(i-1)*(i-3) \end{eqnarray*}$

und beweisen sie diese.

Mein probelm besteht nun darin hierfür eine summenformel zu finden.

gibt es irgendwelche "regeln" nachdenen man hierbei vorgehen kann?

wäre euch sehr dankbar für antworten.

19.10.2008, 18:10

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Folgendes kann man zeigen:

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ein Polynom n-ten Grades, dann gibt es ein Polynom $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ vom Grad $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ , welches die Summenformeleigenschaft

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n P(i) = Q(n) \end{eqnarray*}$

hat.

Dein Summand $\begin{eqnarray*} i(i-1)(i-3) \end{eqnarray*}$ ist ein Polynom dritten Grades. Wenn du also als Ansatz ein Polynom vierten Grades

$\begin{eqnarray*} Q(n) = a_4n^4+a_3n^3+a_2n^2+a_1n+a_0 \end{eqnarray*}$

ansetzt, dann wird das von Erfolg gekrönt sein. Die Koeffizienten (außer $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ ) kriegt man z.B. durch Koeffizientenvergleich über die Iterationsbeziehung

$\begin{eqnarray*} Q(n)-Q(n-1) = P(n) \end{eqnarray*}$

heraus.

19.10.2008, 18:23

Taga

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danke..soweit habe ich alles verstanden bis auf den teil wie man auf die koeffizienten kommt?

über hilfe bin ich sehr dankbar.

19.10.2008, 19:15

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} Q(n)-Q(n-1) = P(n) \end{eqnarray*}$

Ansatz einsetzen:

$\begin{eqnarray*} (a_4n^4+a_3n^3+a_2n^2+a_1n+a_0) - (a_4(n-1)^4+a_3(n-1)^3+a_2(n-1)^2+a_1(n-1)+a_0) = n(n-1)(n-3) \end{eqnarray*}$

Jetzt ausmultiplizieren, nach Potenzen von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gruppieren, und dann Koeffizientenvergleich nach diesen Potenzen von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Und genau dieser Koeffizientenvergleich ermöglicht die Berechnung der Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} a_4 \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Es gibt auch einen weniger rechenaufwändigen Alternativweg - der setzt aber voraus, dass du die Beziehung

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n \binom{i}{k} = \binom{n+1}{k+1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k,n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

kennst. Augenzwinkern

19.10.2008, 19:26

tigerbine

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Frage meinerseits. Hätte man auch betrachten können...

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~i*(i-1)*(i-3) = \sum_{i=0}^n(i^3-4i^2+3i) =\sum_{i=0}^n~i^3 -4\sum_{i=0}^n~i^2+3\sum_{i=0}^n~i \end{eqnarray*}$

Grüße. Wink

19.10.2008, 19:40

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Das geht natürlich auch, wenn man die rechts stehenden Summen alle kennt bzw. nachschlagen kann. Mir ging es oben um Wege, die für beliebig hohe Potenzen geeignet sind, d.h., wenn auch das Nachschlagen nach Formeln nichts mehr hilft. Augenzwinkern

19.10.2008, 20:27

Taga

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danke für die wertvollen tipps,....werde sie gleich ausprobieren

19.10.2008, 21:36

Taga

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} Q(n) = a_4n^4+a_3n^3+a_2n^2+a_1n+a_0 \end{eqnarray*}$

habe nun a4-a1 berechnet wie bekomme ich jetzt a0 => ist a0 gleich 0?

19.10.2008, 21:47

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Ja, da ja $\begin{eqnarray*} Q(0)=0 \end{eqnarray*}$ ist. Was hast du denn bei den anderen Koeffizienten raus (zur Kontrolle)?

19.10.2008, 21:48

Taga

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stimmen die werte für

a1=3
a2=-1
a3=-3
a4=1

habe die beiden formel gleich gesetzt (anfangsformel mit "gefundener" summenformel) und für n zahlen eingesetzt...jedeoch kommen ab n=2;n=4 falsche werte raus (wahrscheinlich dann auch für werte die größer als 4 sind)

19.10.2008, 21:50

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Nein, die stimmen überhaupt nicht. Also so wie ich das oben skizziert habe, bist du wohl nicht vorgegangen. unglücklich

19.10.2008, 21:52

Taga

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} (a_4n^4+a_3n^3+a_2n^2+a_1n+a_0) - (a_4(n-1)^4+a_3(n-1)^3+a_2(n-1)^2+a_1(n-1)+a_0) = n(n-1)(n-3) \end{eqnarray*}$

habe diese formel genommen....a4(n-1)^4 etc. ausmultiplizert und zum schluss den koeffizientenverlgeich angewendet.

was für werte müssten den rauskommen...werde es noch einmal rechnen...

danke vielmals für deine hilfe....

19.10.2008, 22:00

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Ich gehe nochmal von

$\begin{eqnarray*} (a_4n^4+a_3n^3+a_2n^2+a_1n+a_0) - (a_4(n-1)^4+a_3(n-1)^3+a_2(n-1)^2+a_1(n-1)+a_0) - n(n-1)(n-3) = 0 \end{eqnarray*}$

aus (hab nur die rechte Seite nach links gebracht). In einem ersten Schritt multipliziere ich alles aus:

$\begin{eqnarray*} a_4n^4+a_3n^3+a_2n^2+a_1n+a_0 - a_4(n^4-4n^3+6n^2-4n+1)-a_3(n^3-3n^2+3n-1)-a_2(n^2-2n+1)-a_1(n-1)-a_0 - (n^3-4n^2+3n) = 0 \end{eqnarray*}$ ,

dann gruppiere ich alles nach Potenzen von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} n^3(4a_4-1)+n^2(-6a_4+3a_3+4)+n(4a_4-3a_3+2a_2-3) + (-a_4+a_3-a_2+a_1) = 0 \end{eqnarray*}$

Da diese Gleichung für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gelten soll, müssen gemäß Koeffizientenvergleich alle die Klammerausdrücke Null werden:

$\begin{eqnarray*} 4a_4-1 &=& 0 \\ -6a_4+3a_3+4 &=& 0 \\ 4a_4-3a_3+2a_2-3 &=& 0 \\ -a_4+a_3-a_2+a_1 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Das ist bereits ein lineares Gleichungssystem in Zeilenstufenform - du kannst also von der ersten Gleichung beginnend sofort sukzessive $\begin{eqnarray*} a_4,a_3,a_2,a_1 \end{eqnarray*}$ berechnen.

19.10.2008, 22:07

Taga

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danke....vielmals für deine mühe...

habe bei mir einen schwerwiegenden fehler im koeffizientenvergleich gefunden...danke deiner erneuten erklärung...

daaaanke Gott

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bestimmen einer summenformel

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