Erwartungswerte einer Zufallsvariable

19.10.2008, 19:02

evelin

Erwartungswerte einer Zufallsvariable

Hallo Leute,
könnte mir jemand sagen, ob meine Ergebnisse richtig sind?
Aufgabe: Eine Zufallsvariable sei auf (0,1) stetig verteilt. Berechnen Sie die Erwartungswerte
Meine Erwartungswerte:
$\begin{eqnarray*} E(X^{4})=1/5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E( \sqrt{X})=2/3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E(1/X)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E(X/(1+X))= 1 \end{eqnarray*}$

Viele Grüße

19.10.2008, 19:10

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Die ersten beiden sind richtig, die letzten beiden falsch. Zeig doch mal die Rechnung zu diesen letzten beiden, dann finden wir den Fehler.

19.10.2008, 21:02

evelin

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also
$\begin{eqnarray*} E(1/X)=\int_{0}^{1}~1/X~dx=[ln(X)]_{0}^1=ln1-ln0 \end{eqnarray*}$
da ln1=1 und ln0 nicht definiert ist ist E(1/X)=1
oder kann man hier den Erwartungswert nicht ausrechnen, da ln0 nicht definiert?

$\begin{eqnarray*} E(X/(1+X))=\int_{0}^{1}~X/(1+X)~dx= [X^{X+1}]_{0}^1 \end{eqnarray*}$

19.10.2008, 21:43

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Zitat:

Original von evelin
also
$\begin{eqnarray*} E(1/X)=\int_{0}^{1}~1/X~dx=[ln(X)]_{0}^1=ln1-ln0 \end{eqnarray*}$
da ln1=1 und ln0 nicht definiert ist ist E(1/X)=1

Eine sehr merkwürdige Logik. unglücklich

Es handelt sich hier um ein uneigentliches Integral (an der linken Grenze 0), mit Wert

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{1} ~ \frac{1}{x} ~ \dd x = \ln(1) - \lim\limits_{x\searrow 0} \ln(x) = +\infty \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von evelin
$\begin{eqnarray*} E(X/(1+X))=\int_{0}^{1}~X/(1+X)~dx= [X^{X+1}]_{0}^1 \end{eqnarray*}$

Also das ist ja ein geradezu unbeschreiblicher Unfug. Die Stammfunktion lautet

$\begin{eqnarray*} \int ~ \frac{x}{1+x} ~ \dd x = \int ~ \left( 1 - \frac{1}{1+x} \right) ~ \dd x = x - \ln(1+x) \end{eqnarray*}$

19.10.2008, 21:56

evelin

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Vielen Dank

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