Beweise zu Pythagoreanischen Tripeln

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Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise zu Pythagoreanischen Tripeln
Hallo,

und weiter gehts mit der Analyse dieser Tripel:

(1) Sei m ungerade; zeige dass es ein PPT mit m als Eintrag gibt
(2) Sei m=2n mit n ungerade; zeige dass es ein PT mit m als Eintrag gibt
(3) Sei m=(2^k)*n mit n ungerade und k >0; zeige dass es ein PT mit m als Eintrag gibt
(4) Sei m=2^k mit k>1; zeige dass es ein PT mit m als Eintrag gibt

PPT=Primitives Pythagoreanisches Tripel
PT=Pythagoreanisches Tripel

Hört sich alles wieder nach indirektem Beweis an oder ?

zu (1)

Angenommen alle Einträge wären gerade und somit durch 2 teilbar, wäre das ein Widerspruch zur Primitivität (Teilerfremdheit) der Tripel, wodurch demnach mindestens ein Eintrag ungerade sein muss.

Korrekt ?

Klappts bei (2) - (4) auch durch einen Widerspruch ?

Bei (2) wären dann ja schon mehrere Fälle zu betrachten wenn man erste das Gegenteil annimmt oder ? Also einmal dass alle Einträge ungerade sind, was sich ja auch analog wie oben zum Widerspruch führen lässt, wodurch dann zumindest schonmal zusammen mit (1) ein Eintrag gerade und ein Eintrag ungerade sein muss.
Bei PPT (x,y,z) müsste dann z auch ungerade sein, aber bei (2) - (4) ist das ja die Einschränkung auf PPT nicht mehr gegeben.
Bleibt also noch der Einbezug des Falls m=2n mit n gerade, aber dieser führt bei mir mit (2k-1)²+(2*2r)² zu einer Quadratzahl, das 1 QR mod 4 ist.

So das sind mal meine ersten Gedanken zu der Aufgabe, ich hoffe mir kann jemand helfen.

Gruß Björn
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Sollte (4) nicht auch mit PPT statt nur PT formuliert lauten?

Ich würde die Aussagen (1) und (4) (diesmal wirklich Augenzwinkern ) direkt zeigen: Also durch Angabe eines entsprechenden Tripels. Dabei ist natürlich die Kenntnis hilfreich, dass die PPT allesamt durch die Struktur



mit teilerfremden und nicht gleichzeitig ungeraden natürlichen Zahlen dargestellt werden können. Augenzwinkern

(2) und (3) sind ja einfache Folgerungen aus (1).


Zitat:
Original von Bjoern1982
zu (1)

Angenommen alle Einträge wären gerade und somit durch 2 teilbar, wäre das ein Widerspruch zur Primitivität (Teilerfremdheit) der Tripel, wodurch demnach mindestens ein Eintrag ungerade sein muss.

Korrekt ?

Du hast das Problem gründlich missverstanden: Es geht nicht darum zu zeigen, dass in jedem PPT ein Eintrag ungerade ist. Nein, es geht darum zu zeigen, dass es ein PPT mit als Eintrag gibt. Also auch für irgendein konkretes ungerades wie z.B.

.
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Oje da habe ich es mir wohl unnötig kompliziert gemacht...
Diese Veranstaltung ist komplett auf englisch, deswegen übersetze ich die Aufgabenstellungen immer nur sinngemäß, aber auch in "Let m be an odd number. Show that there is a PPT with m as one of its entries" steht nichts von "EVERY PPT", weshalb wohl wirklich nur ein Beispiel genügt.

Die Struktur eines solchen Tripels ist gut wissen, habe mir gestern auch schonmal die Herleitung angeschaut. Besprochen hatten wir das noch nicht aber sooo schwer herzuleiten ist es ja auch nicht wenn man systematisch an die Sache dran gehen will.
Ich frage mich ob ich das wirklich machen muss oder einfach in einer der zahlreichen Tripel-Tabellen ein passendes rauspicken kann verwirrt

Danke für deine Hilfe

Björn

Edit:

Zitat:
Sollte (4) nicht auch mit PPT statt nur PT formuliert lauten?


Originallaut:

"Let m=2^k for some k>1. Show that there is a Pythagorean triple (not necessary a primitive one) that has m as one of its entries"
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zu (4): Na dann - aber es geht mit PPT.

Das einzige, was nicht mit PPT geht, sind Zahlen , alle anderen tauchen in PPTs auf.
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