Selbstabbildung (un-)endlicher Mengen |
| 20.10.2008, 09:18 | Jenny2013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Selbstabbildung (un-)endlicher Mengen bin bestimmt schon seit 2 Tagen an dieser Aufgabe am verzweifeln. a) Es sei M eine endliche Menge und f: M --> M eine Abbildung. Zeigen sie, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind: (1) f ist surjektiv (2) f ist injektiv (3) f ist bijektiv b) Belegen sie durch ein Beispiel, dass die Behauptung von a) für unendliche Mengen M falsch ist..... Also a) kann ich mir eigentlich gut verstellen. Wenn ich eine endliche Menge mit zB 3 Elementen auf sich selber abbilde muss die Abbildung ja surjektiv, injektiv und bijektiv sein. Bei B hab ich erstmal als beispiel für eine unendliche Menge R genommen also R --> R. Wieso diese abbildung jedoch nicht surjektiv, injektiv, bijektiv ist, versteh ich aber nicht so ganz...Hab im Internet zwar schon vers. Erklärungen dafür gefunden, jedoch nie so recht verstanden Kann mir vielleicht irgendwer weiterhelfen? 
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| 20.10.2008, 09:26 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Selbstabbildung (un-)endlicher Mengen a) Zeige bei a injektiv <=> surjektiv. Dann folgt schon bijektiv. b) naja, f(x)=x^2, IR \to IR_0, die ist surjektiv, aber nicht injektiv. |
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| 20.10.2008, 11:46 | Jenny2013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ist f(x) = x^2 nicht surjektiv und auch nicht injektiv weil es für die negativen y-Werte keine x-werte gibt? und wenn ich jetzt f(x) = x habe und x ist element von R, dann sähe der graph doch aus wie eine Gerade und wäre doch somit bijektiv aber eine unendliche Menge kann ja nicht bijektiv sein...irgendwo versteh ich da was falsch und ich weiß nicht wo |
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| 20.10.2008, 14:26 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das scheint mir auch so. Es sind nicht Mengen, die bijektiv sind, sondern Abbildungen. |
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| 20.10.2008, 15:09 | Jenny2013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
sorry, sollte natürlich heißen: und wenn ich jetzt f(x) = x habe und x ist element von R (unendliche menge), dann sähe der graph doch aus wie eine Gerade und wäre doch somit bijektiv aber die Selbstabbildung einer unendlichen Menge kann ja nicht bijektiv sein...irgendwo versteh ich da was falsch und ich weiß nicht wo |
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| 20.10.2008, 15:17 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Selbstabbildung (un-)endlicher Mengen
unglückliches Beispiel, da die Urbildmenge und Zielmenge wohl identisch sein sollen. @Jenny: Schonmal vom Schubfachprinzip gehört? Wenn nicht, such danach mal. Z.b. bei Wikipedia. |
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| 20.10.2008, 15:26 | Jenny2013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm okay das was ich über das Schubfachprinzip gelesen hab macht sinn, aber sind die beiden Mengen nicht "gleich groß" wenn ich eine unendliche Menge auf sich selber abbilde? |
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| 20.10.2008, 15:30 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Erstmal geht es doch zunächst um endliche Mengen. Nur da macht das Schubfachprinzip Sinn. Um z.B. f injektiv ==> f surjektiv zu zeigen, verwendest du das Schubfachprinzip folgendermaßen: M habe die Mächtigkeit n. Angenommen f ist nicht surjektiv, dann gibt es höchstens n-1 Bilder, aber n Urbilder. Also? |
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| 20.10.2008, 15:37 | Jenny2013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wäre f dann nicht injektiv, weil es "mehr objekte als schubladen gibt"? aber das würde ja keinen sinn machen weil f ja injektiv und surjektiv werden würde..hä... |
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| 20.10.2008, 15:46 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ergibt wirklich keinen Sinn. Hast du denn gemerkt, dass ich einen Widerspruchsbeweis angefangen habe? Was müsste man denn jetzt folgern um den Beweis abzuschließen? |
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| 20.10.2008, 19:42 | Jenny2013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also was mich verwirrt ist: Deinen ansatz hab ich bis jetzt nirgendwo im Internet für diese aufgabe gefunden. Jedesmal wenn ich nach der aufgabe suche wird das nur mit induktion bewiesen, aber genau das versteh ich nicht. Hatte grad mal meine 2. vorlesung also erwarte nicht zu viel von mir aber ich versuchs nochmal 
:Widerspruchsbeweis = man zeigt, dass ein Widerspruch entstünde, wenn die zu beweisende Behauptung falsch wäre hm also: nicht surjektiv -> es gibt höchstens n-1 Bilder und n Urbilder bei einer endlichen Menge M, die auf sich selber abgebildet wird und M die Mächtigkeit n hat müsste es aber n Bilder und n Urbilder geben, also muss die Abbildung surjektiv sein Ansatzweise richtig? |
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| 21.10.2008, 01:03 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Selbstabbildung (un-)endlicher Mengen
da hast du recht. 
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| 21.10.2008, 11:42 | Jenny2013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ahh ich glaub ich hab sogar b) verstanden, hab die aufgabenstellung nur falsch verstanden. Ich dachte wenn ich M --> M habe müsste auch die vorschrift dieselbe sein muss also x --> x oder x^2 --> x^2 (sorry bin wieder an nem rechner wo der mich das nicht in latix schreibweise abschicken lässt) aber da kann ja rechts was anderes stehen als links
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