übertriebene Ungleichung

25.07.2006, 20:37

Mikael

übertriebene Ungleichung

Hallo,
unser Lehrer hat uns heute mal folgende Ungleichung reingedrückt,ist allerdings freiwillig,denn ist wohl etwas schwer,auch im Buch finde ich zum Thema Ungleichungen nicht annähernd solche Aufgabentypen...

also,
gegeben: $\begin{eqnarray*} a,b,c > 0 \end{eqnarray*}$ und nun soll man folgende Ungleichung beweisen: $\begin{eqnarray*} (a+b)² \cdot (b+c)² \cdot (c+a)² \geq (ab+bc+ca)³ \end{eqnarray*}$

naja,ich habe bestimmt nicht vor mir hier beim lösen der aufgabe helfen zu lassen und es dann im unterricht groß raushägenen lasse,aber mich würde doch mal interessieren wie man sowas löst und welche Grundlagen man dazu benötigt,denn ich weis noch nichtmal wie der erste Schritt bei dem hier aussehen soll......

25.07.2006, 20:47

JochenX

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einfach mal ne ganz dumme Idee:
multipliziere doch beide Seiten erst mal aus und vergleiche danach mal beide Seiten.

Bislang ist das nicht schwer, aber sehr viel Fleiß.
Ich hätte fast angefangen, es zu versuchen, aber dann ist mir die Lust ausgegangen.

Nur als erster Vorschlag.

25.07.2006, 20:51

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Diese Art Ungleichungen brauchen vor allem ein gutes Auge, siehe z.B. Aufgabe 3.

Hier ist es einfacher: Betrachte

$\begin{eqnarray*} (a+b)(b+c) = ab+bc+ca+b^2 \geq ab+bc+ca \end{eqnarray*}$

Und dann nur noch zyklische Vertauschung.

25.07.2006, 21:02

rain

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mal ne dumme Frage@Arthur..
Woher bekommt man so ein Auge? Augenzwinkern

25.07.2006, 21:03

Mikael

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Oh,die Aufgabe 3 ist ja wohl noch ein wenig schwerer... Augenzwinkern

was ist eine zyklische vertauschung?

25.07.2006, 21:07

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Zitat:

Original von Mikael
was ist eine zyklische vertauschung?

$\begin{eqnarray*} a\to b\to c\to a \end{eqnarray*}$ , d.h., anstelle von $\begin{eqnarray*} (a+b)(b+c) \end{eqnarray*}$ machst du dasselbe mit $\begin{eqnarray*} (b+c)(c+a) \end{eqnarray*}$ und dann nochmal mit $\begin{eqnarray*} (c+a)(a+b) \end{eqnarray*}$ . Alles klar?

Zitat:

Original von rain
Woher bekommt man so ein Auge? Augenzwinkern

Schwere Frage. Jedenfalls schwerer als die vorliegende Ungleichung. Teufel

25.07.2006, 21:21

Ben Sisko

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Auf diese Frage zitiere ich gerne WebFritzi:

Zitat:

Erfahrung, mein Junge.

Das ist es natürlich nicht allein, aber spielt schon eine wichtige Rolle und tröstet einen doch ein bisschen, oder? Augenzwinkern

25.07.2006, 21:23

Mikael

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Ok,dürfte klar sein,wahrscheinlich ist der Stil wie ich es aufschreibe nicht in Ordnung,kannst mich ja draufhinweisen wo es nicht ganz stimmt...

also:
$\begin{eqnarray*} (a+b)² \cdot (b+c)² \cdot (c+a)² \geq (ab+bc+ac)³ \\ (1) (a+b)(b+c)= ab+ac+bc+b² \\ (2) (a+b)(a+c)=ab+ac+bc+a² \\ (3) (b+c)(a+c)=ab+ac+bc+c² \\ \Rightarrow ab+bc+ac=k \\ (a+b)² \cdot (b+c)² \cdot (c+a)² \geq (ab+bc+ac)³ \\ (k+a²)(k+b²)(k+c²) \geq k³ \end{eqnarray*}$

und?

25.07.2006, 21:26

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Wie "und" ?

Es sind $\begin{eqnarray*} a,b,c\geq 0 \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} k\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Und dass für diese $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ deine letzte Zeile gilt, dazu braucht es nun wahrlich kein "gutes" Auge mehr, da reicht ein "normales". Augenzwinkern

25.07.2006, 21:28

Mikael

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ja,mit und meinte ich ob die art und weise des aufschreibens in ordnung ist

und dann mal ne andere Frage,das ggrößer gleich zeichen,heisst es eigentlich dass wenn man so eines setzt bei einer ungleichung,dass es mindestens einen fall gibt bei dem gleichheit besteht oder nimmt man es auch einfach mal wenn der erste ausdruck immer größer ist als der zweite?

25.07.2006, 21:32

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Zitat:

Original von Mikael
das ggrößer gleich zeichen,heisst es eigentlich dass wenn man so eines setzt bei einer ungleichung,dass es mindestens einen fall gibt bei dem gleichheit besteht

Da musst du es nehmen, denn in dem Fall wäre > schlicht falsch.

Zitat:

Original von Mikael
oder nimmt man es auch einfach mal wenn der erste ausdruck immer größer ist als der zweite?

In dem Fall kannst du es nehmen, es ist nicht falsch, nur ist die Aussage eben schwächer. In der vorliegenden Ungleichung hätten die Aufgabensteller tatsächlich > statt > nehmen können, aufgrund der strengen Voraussetzung $\begin{eqnarray*} a,b,c>0 \end{eqnarray*}$ .

25.07.2006, 21:34

Mikael

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also,ist es rein formell nicht falsch und man ist immer auf der sicheren Seite wenn man größergleich nimmt generell,wenn man sich nicht absolut sicher ist?

25.07.2006, 21:35

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Ja.

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