Aufgabe mit 2 Zufallsvariablen

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knup.wuppdich Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe mit 2 Zufallsvariablen
Folgende Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen:

Die Zufallsvariablen X,Y seien binomialverteilt (n=3, p=0,4; n=4, p=0,4) und unabhängig. Berechnen Sie .

Soweit die Aufgabenstellung. Leider habe ich wenig Schimmer, wie mein Ansatz aussehen könnte, bzw. finde auch nichts dazu in meinen Unterlagen.

X und Y haben also das selbe p, allerdings bei unterschiedlicher Anzahl von Versuchen (3 und 4). Wie bekomme ich jetzt mein X + Y hin? Leider stehe ich gerade total auf dem Schlauch.

Viele Grüße, kW
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

P(X + Y >= 2) = 1 - P(X + Y < 2).

Und jetzt überleg dir, welche Möglichkeiten es für X + Y < 2 gibt.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Eine andere Variante, sicher ganz nützlich, wenn wieder Summen von Binomialverteilungen auftreten:

zählt die Anzahl der Erfolge in einem n-fach wiederholten Bernoulli-Einzelexperiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit

zählt die Anzahl der Erfolge in einem m-fach wiederholten Bernoulli-Einzelexperiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit

Also werfen wir doch alle diese (n+m) Einzelexperimente in einen Topf, dann zählt die Anzahl der Erfolge im "Topf" !


Man kann auch "mathematisch" (im Sinne von: über die Verteilung) beweisen, dass für unabhängige mit und dann gilt, aber die vorstehende inhaltliche Begründung über das Bernoulli-Experiment ist m.E. doch viel prägnanter. Augenzwinkern
knup.wuppdich Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für Eure Antworten. Leider bin ich immernoch auf dem Holperpfad. Wenn ich den Ansatz von Arthur Dent einmal aufgreife:

Da ich für beide Zufallsvariablen X und Y jeweils n und p kenne, kann ich meinen Topf X+Y also direkt berechnen, nämlich:

Anzahl der Erfolge X = n Versuche * p Erfolgswahrscheinlichkeit = 3 * 0,4 = 1,2
Anzahl der Erfolge Y = 4 * 0,4 = 1,6

daraus folgt dann X+Y = 1,2 + 1,6 = 2,8

also wäre die Forderung X+Y >= 2 erfüllt. das bringt mich aber leider nicht weiter, oder sehe ich den Ausweg einfach nicht? verwirrt

Beim Ansatz von WebFritzi muß ich leider sofort passen... geschockt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von knup.wuppdich
Anzahl der Erfolge X = n Versuche * p Erfolgswahrscheinlichkeit = 3 * 0,4 = 1,2
Anzahl der Erfolge Y = 4 * 0,4 = 1,6

daraus folgt dann X+Y = 1,2 + 1,6 = 2,8

Das ist Unsinn: Hier verwechselst du die Zufallsgrößen X,Y mit ihren zugehörigen Erwartungswerten. unglücklich

Ich hab doch gesagt, dass , dann liegt dir doch nun die Verteilung der Summe direkt vor und du kannst berechnen. Wie WebFritzi schon sagte, natürlich am besten über das Komplement, also

.
knup.wuppdich Auf diesen Beitrag antworten »
mhhh, dann mal weiter gedacht...
Ich hoffe ich habe es mir jetzt nicht zu einfach gemacht:

Ich will also berechnen:



Dazu nehme ich:

mit und

Da muss ich für k=0 und k=1 aufaddieren, es folgt also:














so richtig???
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus. smile
knup.wuppdich Auf diesen Beitrag antworten »

Cool, danke für die Hilfen! Manchmal ist es nur ein kleines Stück das fehlt, dann geht der Rest fast wie von allein.

Was mir noch einfällt: Funktioniert der Weg auch für unterschiedliche p, oder muß p für X und Y gleich sein?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sähe denn "der Weg" bei unterschiedlichen p's aus? verwirrt
knup.wuppdich Auf diesen Beitrag antworten »

Die beiden n´s konnte ich ja aufaddieren (3+4=7), da "alles in einen Topf geworfen wurde". Dann würde ich für unterschiedliche p den Mittelwert beider einsetzen, also zum Beispiel

Oder ist das falsch, da wir unterschiedliche Anzahl von Wiederholungen (n) haben?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist Heuristik, die diesmal gegen den Baum fährt. Bei unterschiedlichen p's solltest du auf den ersten Vorschlag von WebFritzi zurückgreifen.
knup.wuppdich Auf diesen Beitrag antworten »

OK, und noch einmal vielen Dank für Eure Hilfestellungen!
knup.wuppdich Auf diesen Beitrag antworten »

Nun bin ich doch über eine Aufgabe gestolpert, bei der unterschiedliche Werte für p auftauchen. Nämlich:

Die Zufallsvariablen X,Y seien binomialverteilt (n=4, p=0,5; n=5, p=0,4) und unabhängig. Berechnen Sie .

Ich habe den gleichen Ansatz gewählt und hoffe, daß ich so einfach aufaddieren kann:

mit und

und

mit und

Da muss ich für k=0 und k=1 aufaddieren, es folgt also:







Ist das so in Ordnung?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Was hast du denn da gerechnet??? Es ist



mit den Anteilen



und

.

Nichts davon erkenne ich bei dir wieder. unglücklich
knup.wuppdich Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh...
Jetzt sehe ich meine Gedankenfehler. Es muß also heißen:











Ich habe vorher nicht beachtet, welche Möglichkeiten für X+Y<2 bestehen. Hoffe meine Ergebnis ist so richtig!?

Danke schonmal für die Hilfe!
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