relle Folge

20.10.2008, 16:10

Surfer

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relle Folge

Ich bins nochmal:

Wenn ich eine reelle Folge habe (a_n) (n Element N) die gegeben ist durch a_0: = x Element R und die Rekursion $\begin{eqnarray*} a_(n+1) = \sqrt{7a_n -10} \end{eqnarray*}$ - wie kann ich dann bspw. ein x Element R finden, für welche die Folge wohldefiniert ist?

Besten Dank im Voraus!

20.10.2008, 16:20

tmo

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Bestimme doch mal mögliche Grenzwerte dieser Folge.

20.10.2008, 16:34

Surfer

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Grenzwerte?
Hihi also wenn ich nicht alles falsch mache, so hat diese Folge gar keinen Grenzwert (unendlich).
Ausser ich betrachte die "falsche" Folge...

20.10.2008, 16:35

marodeur

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Setz mal für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ein und bestimme $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ . Sicher dass du die Aufgabe richtig abgetippt hast?

20.10.2008, 16:37

AD

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Zitat:

Original von Surfer
Hihi also wenn ich nicht alles falsch mache, so hat diese Folge gar keinen Grenzwert (unendlich).

Dann machst du wohl alles falsch: Es gibt sogar Startwerte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (um genau zu sein: Es sind deren zwei), so dass die Folge konstant ist. Diese Werte sind leicht ermittelbar über die bei solchen rekursiven Folgen übliche Fixpunktgleichung.

20.10.2008, 16:38

tmo

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Mögliche Grenzwerte sind Fixpunkte der Funktion, die durch $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{7x-10} \end{eqnarray*}$ definiert ist. Diese Fixpunkte sind trivialerweise auch Startwerte, für die Folge wohldefiniert (denn konstant) ist.

Bei genaurer Betrachtung kann man zeigen, dass die Folge für $\begin{eqnarray*} a_0 \geq 2 \end{eqnarray*}$ wohldefiniert und konvergent (aber nicht immer gegen den selben Grenzwert) ist.

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20.10.2008, 16:42

Surfer

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Tatsächlich, da ist ein Fehler - tut mir Leid:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \sqrt{7a_{n} -10} \end{eqnarray*}$

20.10.2008, 16:44

Surfer

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ahhh...vielen Dank!
..ich melde mich, wenn wieder Fragen auftreten... smile

smile

Thanks a lot! =)

20.10.2008, 17:15

Surfer

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Angenommen, ich muss zeigen, dass die Folge mit $\begin{eqnarray*} a_0 = x \end{eqnarray*}$ konvergiert, und ich wähle für den Induktionsanfang zB x=3...dann konvergiert die Folge aber nicht mit 3... traurig

traurig

20.10.2008, 17:34

WebFritzi

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Ähm, was bitte? verwirrt

verwirrt

20.10.2008, 17:39

Surfer

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Also, die Menge aller x, für welche die Folge nun wohldefiniert ist, habe ich in D zusammengefasst.

Nun müsste ich eben noch zeigen, dass wenn x Element von D, dass dann die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_0 = x \end{eqnarray*}$ konvergiert.

20.10.2008, 17:43

WebFritzi

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Wieso? Wer sagt das? Ist das deine Aufgabe?

20.10.2008, 17:47

Surfer

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Richtig, ja.

20.10.2008, 18:59

Surfer

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Aber wie kann ich das anstellen?
(weil wenn ich eben zB 3 verwende, so wird a_0 doch 3.317, oder mach ich was falsch? )

20.10.2008, 19:23

AD

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Wäre schön, wenn du mal sauber und ordentlich die Aufgabenstellung nennst. Bisher konnte ich in etwa folgendes zusammenpuzzeln:

Zitat:

(a) Bestimme die Menge $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ aller Anfangswerte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , für die die reelle Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n=0,1,\ldots} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_0=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \sqrt{7a_n-10} \end{eqnarray*}$ wohldefiniert ist.

(b) Zeige, dass für alle $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$ die entsprechend zugehörige Folge dann auch konvergiert.

Es liegt hier eine rekursive Folge der Struktur $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = g(a_n) \end{eqnarray*}$ mit einer Iterationsfunktion $\begin{eqnarray*} g(x) = \sqrt{7x-10} \end{eqnarray*}$ vor. Solche Folgen mit stetigen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ haben z.B. die Eigenschaft, dass ein potentieller Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ notwendig ein Fixpunkt von g sein muss, d.h. die Fixpunktgleichung $\begin{eqnarray*} g(a)=a \end{eqnarray*}$ erfüllen muss.

Es lohnt sich also, diese Funktion etwas näher zu analysieren:

Abgesehen von den zwei Fixpunkten lassen sich klar drei Gebiete (hinsichtlich Definitions- und Wertebereich) erkennen:

$\begin{eqnarray*} (1) \qquad \left[ \frac{10}{7}, 2 \right) \to [0,2) \end{eqnarray*}$ : Hier ist $\begin{eqnarray*} g(x) < x \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} (2) \qquad (2, 5) \to (2, 5) \end{eqnarray*}$ : Hier ist $\begin{eqnarray*} g(x) > x \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} (3) \qquad (5, \infty) \to (5, \infty) \end{eqnarray*}$ : Hier ist wieder $\begin{eqnarray*} g(x) < x \end{eqnarray*}$ .

Alle anderen reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gehören nicht zum Definitionsbereich der Funktion. Sollte also im Verlauf der Rekursion irgendwann $\begin{eqnarray*} a_n < \frac{10}{7} \end{eqnarray*}$ werden, dann ist $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ nicht mehr definiert und die ganze Folge nicht wohldefiniert, und für den zugehörigen Anfangswert gilt demnach $\begin{eqnarray*} x\not\in D \end{eqnarray*}$ .

20.10.2008, 20:29

Surfer

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wow! Vielen Dank für die Veranschaulichung!

Tut mir Leid - die Aufgaben lauten so:

1.) Bestimmen Sie alle x Element R für welche die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ wohldefiniert ist; das heisst alle x so dass $\begin{eqnarray*} a_n \geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle n Element N. Die Menge dieser x sei mit D bezeichnet.

--> Lösung: $\begin{eqnarray*} D = \{ 2\leq x\leq 5\} \end{eqnarray*}$

2.) Sei x Element D. Zeigen Sie, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit a0 = x konvergiert.

--> Lösung: hier würde ich die Grafik angeben... (?)

3.) Finden Sie alle möglichen Grenzwerte der Folge (a_n) mit a_0 Element D. Die Menge dieser Grenzwerte sei mit (z_i) (i Element I) bezeichnet.

--> Lösungen: 2 ; 5

4.) Zerlegen Sie die Menge D so in disjunkte Teilmengen (D_i), dass gilt: falls x Element D_i dann konvergiert die Folge (a_n) mit a_0 = x gegen z_i.

--> Lösungen: hier würde ich deine drei Gebiete angeben...

20.10.2008, 23:47

tmo

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Außer zu 3 sind alle Lösungen falsch.

Zur 1) Es gibt doch hauptsächlich ein Problem, wenn x zu klein ist. Das heißt, dass es doch sehr verwundern würde, wenn D eine obere Schranke hat.

Zur 2) Zeige, dass die Folge stets monoton und beschränkt ist. Aufpassen: Sie weist je nach x verschiedene Monotonien auf.

Die 4) ist eigentlich kein Problem mehr, wenn man die 2) richtig gelöst hat.

21.10.2008, 00:12

Surfer

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zu 1:

dh 2<=x

2.) wie kann ich zeigen, dass sie monoton ist? (also eben; nicht anhand einer Grafik, sondern rechnerisch..)

4.) Nummer 2 notwendig =)

21.10.2008, 00:14

tmo

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Forme mal die Ungleichung $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \sqrt{7a_n-10} \leq a_n \end{eqnarray*}$ etwas um.

Das geht mit dem Wissen, dass 2 und 5 die Fixpunkte sind, relativ schnell Augenzwinkern

Augenzwinkern

Beachte weiterhin, dass quadrieren hier eine Äquivalenzumformung ist, denn beide Seiten sind größer als 0.

21.10.2008, 00:22

Surfer

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Hmm...das wäre (a_(n+1))^2 = 7a_n -10 <= (a_n)^2

..nur verstehe ich nicht ganz, auf was du hinaus willst..

21.10.2008, 00:24

tmo

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$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \leq a_n \Longleftrightarrow 7a_n-10 \leq a_n^2 \Longleftrightarrow a_n^2-7a_n+10 \geq 0 \Longleftrightarrow (a_n-5)(a_n-2) \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

So kannst du erkennen, für welche $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ das nächste Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ größer oder kleiner ist.

21.10.2008, 00:59

Surfer

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achsoo...oookey, das habe ich nun verstanden! smile

smile

Aber wie komme ich nun zu den Lösungen? Also ich kann doch nicht unendlich viele a_n "testen", oder?

21.10.2008, 01:08

tmo

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Zitat:

Original von tmo
So kannst du erkennen, für welche $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ das nächste Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ größer oder kleiner ist.

Tu dies doch einfach mal.

21.10.2008, 01:34

Surfer

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nun, wenn für a_n: n<= 2 ist, dann stimmt es...
(Vielen Dank fürs Erste und gute Nacht - bin morgen früh wieder da..)

21.10.2008, 05:04

WebFritzi

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OK, Surfer, zeige folgendes:

$\begin{eqnarray*} 1.)\; D = [2,\infty) \end{eqnarray*}$ (ich wette, du hast den Beweis dafür noch nicht)

$\begin{eqnarray*} 2.)\; a_0\in D \;\Longrightarrow\; a_n\ge 2 \;\forall n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3.)\; \mbox{Für }\, 2 < a_0 < 5 \;\mbox{ist $(a_n)$ monoton steigend und nach oben beschränkt durch $5$.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4.)\; \mbox{Für }\, a_0 > 5 \;\mbox{ist $(a_n)$ monoton fallend und nach unten beschränkt durch $5$.} \end{eqnarray*}$

Damit und mit der Stetigkeit der Funktion g(x) ist dann das Konvergenzverhalten der Folge klar.

21.10.2008, 14:44

Surfer

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zu 1.) es muss ja gelten: 0 <= $\begin{eqnarray*} \sqrt{7x - 10} \end{eqnarray*}$
damit das gilt, muss x mindestens 2 sein, also: 2<=x $\begin{eqnarray*} 2, \infty ] \end{eqnarray*}$

zu 2.) das folgt ja aus 1, da D grösser gleich 2 ist...

zu 3.) und 4.) das würde ich mit der Grafik zeigen und für x Werte zwischen 2 und 5 (für 3) angeben, die beweisen, dass die Kurve dann steigt (2 und 5 deswegen, weil es Fixpunkte sind). Analoges für a_n > 5.

smile

smile

21.10.2008, 15:42

tmo

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Zitat:

Original von Surfer
zu 1.) es muss ja gelten: 0 <= $\begin{eqnarray*} \sqrt{7x - 10} \end{eqnarray*}$
damit das gilt, muss x mindestens 2 sein, also: 2<=x $\begin{eqnarray*} 2, \infty ] \end{eqnarray*}$

Sorry, aber das ist totaler Schwachsinn unglücklich

unglücklich

Ich würde sogar fast zuerst 2) beweisen. Sprich $\begin{eqnarray*} a_0 \geq 2 \Longrightarrow a_n \geq 2 ~ \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Tipp: Vollständige Induktion. Sollte eigentlich sowieso einer der ersten Gedanken sein, wenn es um eine Aussage über alle natürliche Zahlen geht. Lehrer

Lehrer

Daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} D \supseteq [2, \infty) \end{eqnarray*}$ . Dass auch Gleichheit gilt (also für Startwerte kleiner 2 die Folge nicht wohldefiniert ist), würde ich so beweisen:
Man nimmt an die Folge sei wohldefiniert.
Erst beweist man dann analog zu dem Beweis oben $\begin{eqnarray*} a_0 < 2 \Longrightarrow a_n < 2 ~ \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Nun kann man zeigen (wie das geht, habe ich schon geposted), dass die Folge dann streng monoton fallend ist. Da sie wegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \geq 0 \end{eqnarray*}$ auch beschränkt ist, konvergiert sie. Wegen $\begin{eqnarray*} a_n < a_0 < 2 \end{eqnarray*}$ , konvergiert sie aber weder gegen 2 noch 5. Widerspruch!

Mit einer Grafik beweist man übrigens gar nichts. Wenn du die Möglichkeit dazu hast, kann man sich eine solche angucken, um sich einen Überblick über die Aufgabe zu verschaffen, aber beweisen kannst du damit nichts.

21.10.2008, 15:44

WebFritzi

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Zitat:

Original von Surfer
zu 1.) es muss ja gelten: 0 <= $\begin{eqnarray*} \sqrt{7x - 10} \end{eqnarray*}$
damit das gilt, muss x mindestens 2 sein, also: 2<=x $\begin{eqnarray*} 2, \infty ] \end{eqnarray*}$

Das stimmt doch gar nicht...

Zitat:

Original von Surfer
zu 2.) das folgt ja aus 1, da D grösser gleich 2 ist...

Es folgt tatsaechlich aus (1.), denn man koennte die Folge ja auch bei a_n anfangen lassen, Und waere a_n < 2, waere die Folge nicht mehr wohldefiniert. Ich wuerde es allerdings elementar per Induktion zeigen. Und "da D groesser gleich 2 ist", ist natuerlich Unsinn, da D eine Menge ist.

Zitat:

Original von Surfer
zu 3.) und 4.) das würde ich mit der Grafik zeigen

Mit einer Grafik kann man nichts zeigen. Auch hier solltest du vollstaendige Induktion verwenden.

21.10.2008, 17:38

Surfer

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oke oke oke...vielen Dank für all Eure Beiträge!
Mein Kollege und ich haben die Aufgabe nun fast gelöst, inkl. Beweise smile

smile

Nur hätten wir noch eine Frage zu:
(2.) : Sei x Element D. Zeigen Sie, dass die Folge (a_n) mit a_0 = x konvergiert.
Wie soll man das genau zeigen - also mit Induktion? (sprich: für n gilt... dann für (n+1) gilt... [2<=n<=5])

21.10.2008, 17:49

AD

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Statt immer wieder neu zu fragen, solltest du die Hinweise auch mal lesen:

Zitat:

Original von tmo
Zur 2) Zeige, dass die Folge stets monoton und beschränkt ist. Aufpassen: Sie weist je nach x verschiedene Monotonien auf.

Um es mal noch ausführlicher zu sagen:

Jede monoton fallende Folge, die nach unten beschränkt ist, konvergiert.

Ebenso konvergiert jede monoton wachsende Folge, die nach oben beschränkt ist.

Nie davon gehört? Beim Nachweis der Monotonie (über vollständige Induktion) helfen die Eigenschaften von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf den entsprechenden Intervallen, die ich oben in meinem Beitrag genannt habe. Diese Eigenschaften wollen natürlich ordentlich begründet sein, nicht nur mit einem Verweis auf die Grafik. Grafiken können gute Hinweise geben, aber bisweilen auch täuschen.

21.10.2008, 18:07

Surfer

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oke, aber kann ich mit der Umformung von tmo zeigen, dass die Folge gegen a_0 = x (also konkret: gegen x) konvergiert?
Besten Dank!

21.10.2008, 18:29

AD

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Für alle $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$ soll die Folge mit $\begin{eqnarray*} a_0=x \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergieren? Nein, das ist falsch - das hättest du bei aufmerksamer Verfolgung des Threads aber schon merken müssen!

Abgesehen von allen Rechnungen und Beweisen, hast du dir denn wirklich mal die Anfangsstücke (so 20 bis 50 Glieder) solcher Folgen angesehen, für verschiedene Startwerte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? Auch ohne Programmiersprache oder CAS ist das z.B. mit Excel 1-fix-3 gemacht. Dann bekommst du vielleicht mal ein Gespür für diese Folgen, was dir bisher völlig abgeht.

21.10.2008, 19:02

Surfer

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phuu...eben - das hätte ich auch gedacht, nach dem Durchlesen aller Beiträge.

Aber die Aufgabe lautet eben so...wohl eine Fangfrage - oder doch nicht? =S

21.10.2008, 19:08

AD

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Zitat:

Original von Surfer
Aber die Aufgabe lautet eben so

Das ist dann wohl 5.) ? verwirrt

verwirrt

Denn bei 1.) bis 4.) steht nichts dergleichen. unglücklich

unglücklich

21.10.2008, 19:26

Surfer

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Wir haben soeben eine Mitteilung erhalten, dass wir die Aufgabe streichen können, da sie (wie du auch bemerkt hast =) ) keinen Sinn macht smile

smile

Vielen Dank an alle!

21.10.2008, 19:37

Surfer

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Vielleicht doch noch eine Schlussfrage: Zur Aufgabe 4 (mit den disjunkten Teilmengen), die dann mit a_0 = x gegen z_i konvergieren - kann es sein, dass es da zwei Teilmengen gibt, nämlich D_1: {2<=x<=5} und D_2: {5<x} ?

21.10.2008, 20:11

WebFritzi

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Zitat:

Original von Surfer
Wir haben soeben eine Mitteilung erhalten, dass wir die Aufgabe streichen können, da sie (wie du auch bemerkt hast =) ) keinen Sinn macht smile

smile

Wieso sollte die keinen Sinn machen? Ich sehe auch nirgends eine Bemerkung Arthurs dergleichen. Das bestätigt nur, dass du die Beiträge (die schließlich nur für dich geschrieben werden) nicht aufmerksam liest.

Zitat:

Original von Surfer
Vielleicht doch noch eine Schlussfrage: Zur Aufgabe 4 (mit den disjunkten Teilmengen), die dann mit a_0 = x gegen z_i konvergieren - kann es sein, dass es da zwei Teilmengen gibt, nämlich D_1: {2<=x<=5} und D_2: {5<x} ?

Es gibt zwar zwei solche Mengen, aber nicht die von dir angegebenen.

21.10.2008, 20:30

Surfer

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arr...ist die eine Teilmenge { x<(10/7)} und die andere {0<=x<=(10/7)}

21.10.2008, 20:59

AD

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Auch das ist wieder völlig daneben. Deswegen wiederhole ich dringend meinen Rat:

Zitat:

Original von Arthur Dent
hast du dir denn wirklich mal die Anfangsstücke (so 20 bis 50 Glieder) solcher Folgen angesehen, für verschiedene Startwerte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? Auch ohne Programmiersprache oder CAS ist das z.B. mit Excel 1-fix-3 gemacht.

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