Was ist ein Tensor?

20.10.2008, 17:21

WebFritzi

Was ist ein Tensor?

Hi Leute,

sagt mal, was ist eigentlich ein Tensor? Ich finde nirgendwo im Netz eine ordentliche Definition davon. Überall wo man schaut werden entweder Beispiele angeführt oder einfach mal so n Tensorprodukt hingeschrieben - ohne überhaupt zu erklären, was das sein soll. unglücklich

Es muss doch eine klare mathematische Definition des Begriffs "Tensor" geben...

21.10.2008, 10:10

Romaxx

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Für Vektorräume $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ .
Das Tensorprodukt von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ besteht aus einem Vektorraum $\begin{eqnarray*} V\otimes W \end{eqnarray*}$ und einer bilinearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \iota: V\times W\to V\otimes W \end{eqnarray*}$ derart, daß für jede bilineare Abbildung $\begin{eqnarray*} g:V\times W\to U \end{eqnarray*}$ für einen beliebigen Vektorraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ genau eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:V\otimes W\to U \end{eqnarray*}$ existiert, so daß gilt $\begin{eqnarray*} f\circ \iota=g \end{eqnarray*}$ . (Kann man sich gut über eine Dreiecksdiagramm veranschaulichen)
Ein Tensor ist ein Element aus dem Vektorraum $\begin{eqnarray*} V\otimes W \end{eqnarray*}$ .
Es gilt $\begin{eqnarray*} v\otimes w=\iota(v,w) \end{eqnarray*}$

Die Existenz des Tensorprodukts wird meist über den freien Vektorraum gezeigt.

Es hat die schöne Eigenschaft distributiv über $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ zu sein.
Es ist selber eine kommutative, assoziative Operation auf der Klasse der Vektorräume.
Für die Dimensionsformel gilt: $\begin{eqnarray*} dim(V\otimes W)=dim(V)\cdot dim(W) \end{eqnarray*}$

21.10.2008, 20:01

WebFritzi

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Vielen Dank für diese Definition, Romaxx. Wo hast du die her, wenn ich fragen darf?

21.10.2008, 20:09

Duedi

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(achtung, dieser Beitrag ist höchst informal und vielleicht sogar ungenau oder falsch)

Mir hat mal jemand gesagt, als Antwort auf meine Frage, was ein Tensor sei: Ein Vektor ist ein Tensor erster, eine Matrix ein Tensor zweiter Ordnung. Man kann Tensoren n-ter Ordnung dann dementsprechend definieren

(das nur als mögliche Veranschaulichung)

21.10.2008, 20:46

Romaxx

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Literatur: Lineare Algebra von Hans-Joachim Kowalsky, Herhard O.Michler (Dort wird es über R-Modulen eingeführt)

Kann ich nur weiterempfehlen.

Zitat:

Mir hat mal jemand gesagt, als Antwort auf meine Frage, was ein Tensor sei: Ein Vektor ist ein Tensor erster, eine Matrix ein Tensor zweiter Ordnung. Man kann Tensoren n-ter Ordnung dann dementsprechend definieren

Diese Betrachtungsweise wird oft in den Ingenieurswissenschaften verwendet, da sie dort für die Anwendung ausreichend ist.

Edit: natürlich lässt sich das Tensorprodukt auf mehr als zwei Vektorräume verallgemeinern.

Seien $\begin{eqnarray*} V_1, V_2, \cdots, V_k \end{eqnarray*}$ K-Vektorräume. Ein K-Vektorraum $\begin{eqnarray*} W=V_1\otimes V_2\otimes\cdots\otimes V_k \end{eqnarray*}$ zusammen mit einer k-fachen multilinearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \iota : V_1\times V_2\times\cdots\times V_k\to W \end{eqnarray*}$ heißt Tensorprodukt der Räume $\begin{eqnarray*} V_1\times V_2\times\cdots\times V_k \end{eqnarray*}$ falls folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:
Ist $\begin{eqnarray*} g : V_1\times V_2\times\cdots\times V_k\to U \end{eqnarray*}$ multilineare Abbildung in einen K-Vektorraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , so gibt es genau eine K-lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f : W\to U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f\circ\iota=g \end{eqnarray*}$ .

22.10.2008, 02:14

WebFritzi

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Aber die $\begin{eqnarray*} v\otimes w \end{eqnarray*}$ sind im allgemeinen nur spezielle Tensoren, oder? Man wird wohl nicht alle Elemente in $\begin{eqnarray*} V\otimes W \end{eqnarray*}$ so darstellen können. Sprich: $\begin{eqnarray*} \iota \end{eqnarray*}$ ist im allgemeinen nicht surjektiv.

22.10.2008, 07:38

gast1

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Genau, das Tensorprodukt wird nur von ihnen erzeugt (im Allgemeinen mit unüberschaubaren Relationen).
Was die Physiker als Tensor bezeichnen, weiß ich bis heute nicht. Insbesondere sehe ich keinen Zusammenhang zwischen dem mathematischen Tensorprodukt und der Physiker"definition", die Duedi gepostet hat.

22.10.2008, 14:24

WebFritzi

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Hallo gast,

hier mal ein Zusammenhang für Matrizen. Sei n eine natürliche Zahl. Setze $\begin{eqnarray*} V = \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V\otimes V := \mathbb R^{n\times n}. \end{eqnarray*}$ Setze weiter

$\begin{eqnarray*} \iota : V\times V\to V\otimes V,\quad \iota(v,w) := vw^T. \end{eqnarray*}$

Das ist dann eine bilineare Abbildung. Sei nun $\begin{eqnarray*} g : V\times V\to U \end{eqnarray*}$ eine bilineare Abbildung in irgendeinen Vektorraum U. Sei A eine reelle nxn-Matrix mit den Zeilen $\begin{eqnarray*} a_1,\dots,a_n. \end{eqnarray*}$ Dann setzen wir

$\begin{eqnarray*} f(A) := \sum_{k=1}^n g(e_k,a_k). \end{eqnarray*}$

Dabei sei $\begin{eqnarray*} e_k \end{eqnarray*}$ der k-te Einheitsvektor des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n. \end{eqnarray*}$ Man sieht leicht, dass die so definierte Abbildung $\begin{eqnarray*} f : V\otimes V\to U \end{eqnarray*}$ linear ist, und es gilt für $\begin{eqnarray*} v = (v_1, \dots,v_n)^T\in\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w\in\mathbb R^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\iota(v,w)) = f(vw^T) = \sum_{k=1}^n g(e_k, v_kw) = \sum_{k=1}^n g(v_ke_k,w) = g(v,w). \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} V\otimes V \end{eqnarray*}$ ein Tensorprodukt und die reellen nxn-Matrizen die Tensoren darin.

22.10.2008, 16:35

Romaxx

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Also ist $\begin{eqnarray*} V\otimes V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \iota \end{eqnarray*}$ ein Tensorprodukt und die reellen nxn-Matrizen die Tensoren darin. Augenzwinkern

22.10.2008, 16:40

WebFritzi

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Ich zähle auch gern Erbsen... Teufel

Aber hast ja recht. Augenzwinkern

22.10.2008, 17:30

Zellerli

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gast1:

Zitat:

Was die Physiker als Tensor bezeichnen, weiß ich bis heute nicht.

Bei Physikern ist ein Tensor alles mögliche.

Trägheitstensor ist idR eine Matrix und macht auch nur Sinn, wenn du ihn mit der Drehachse (Vektor) verarbeitest. Das einzelne Trägheitsmoment (so nennt man jedes Moment dieses Tensors) nennen wir aber auch Tensor!

Dann nennen wir auch das Kronecker-Delta Tensor.

Ne saubere Definition wäre echt mal angebracht Augenzwinkern

22.10.2008, 19:00

WebFritzi

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Zitat:

Original von Zellerli
Dann nennen wir auch das Kronecker-Delta Tensor.

Das macht ja auch Sinn, denn man kann das Kronecker-Delta mit einer quadratischen Matrix identifizieren, die überall Nullen hat, außer eine Eins im (i,j)-ten Eintrag. Und diese Matrix ist in meinem obigen Beispiel gegeben durch $\begin{eqnarray*} e_i\otimes e_j. \end{eqnarray*}$

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