Funktion zu diffbarer Fkt. fortsetzen

26.07.2006, 19:36	total verwirrt	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion zu diffbarer Fkt. fortsetzen Hallo, ich hatte schon öfters Aufgaben der Art: Setzen Sie die Fkt. ... zu einer auf ganz IR diffbaren Fkt. fort, und muß gestehen: So richtig verstanden habe ich nie wie man darauf kommt. Vielleicht ein Beispiel: $\begin{eqnarray} g: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, g(x) := \frac{\cos(x^2) - 1}{x^3} \end{eqnarray}$ soll zu einer auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ diffbaren Fkt. fortgesetzt werden. Das Ergebnis ist mir jetzt weniger wichtig (es ist die Potenzreihe um 0), sondern warum und wie man drauf kommt. Welche Überlegung stellt man an wenn man so eine Aufgabe lösen möchte? Warum macht man z.B. nicht einfach: g(x) für x ungleich 0, 0 für x=0. Die Fkt. wäre doch auf ganz IR diffbar? Ich hoffe mich kann jemand aufklären. Schonmal danke im vorraus! Grüße, Katha
26.07.2006, 19:48	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Allgemeinen wirst du das gar nicht erreichen können, eine Funktion, die auf ganz IR abzüglich einer Stelle definiert ist, diffbar fortzusetzen. Da für Differenzierbarkeit insbesondere Stetigkeit vorausgesetzt ist, wirst du niemal WAHL haben, deinen Funktionswert zu wählen. Was du also tun kannst: schau erstmal, ob du das ganze stetig ergänzen kannst, und wenn das geht, DANN kannst du dich an Diffbarkeit wagen.
26.07.2006, 20:06	total verwirrt	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Um also das Beispiel nochmal aufzugreifen: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} g(x) = 0 \end{eqnarray}$ , also könnte ich doch stetig ergänzen. Wenn ich g dann (für x ungleich 0) ableite und den Grenzwert gegen 0 berechne, erhalte ich $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Der Differentialquotient an der Stelle 0 ist auch $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Aber wenn in der Lösung die Potenzreihe gewählt wurde muß ich wohl einem systematischen Denkfehler unterliegen. Kannst du mir sagen, was an meiner Überlegung falsch ist? Grüße, Katha
26.07.2006, 20:39	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das ganze mit g(0)=0 zu ergänzen, ist schon mal korrekt. Durch ableiten bekomme ich einen Term, der auch zunächst als Grenzwert "0/0" hat, boah, dessen Grenzwert zu bestimmen, ist ja nicht ganz ohne. Ich bekomme allerdings auch als Grenzwert -1/2 raus (zum Vergleich: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}~[x^2\sin(x^2)-\frac{1}{2}\cos(x^2)] \end{eqnarray}$ ), ich würde also sagen, du hast alles richtig gemacht.
26.07.2006, 20:51	total verwirrt	Auf diesen Beitrag antworten »
Juhuu, mal was richtig Vielleicht haben die nur deshalb die Potenzreihe genommen, weil der Grenzwert dann trivial wird, denn die Potenzreihe wäre $\begin{eqnarray} g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{4n-3} \end{eqnarray}$ . Dafür müßte man hier aber noch zeigen, daß der Konverganzradius auch $\begin{eqnarray} +\infty \end{eqnarray}$ ist, oder? Grüße, Kathe

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