Herleitung von EW und Var einer Lognormalverteilung

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Jacko Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung von EW und Var einer Lognormalverteilung
Bitte um Hilfe bzw einen Hinweis zu folgendem Bsp:

Eine ZV X sei normalverteilt mit Mittelwert my und Varianz sigma^2. Jetzt sollen wir EW[exp(X)], sowie Var[exp(X)] berechnen. Natürlich ergibt sich durch die Transformation eine Lognormalverteilung und EW und Var stehen in jedem Lehrbuch sowie in Wikipedia, doch wie leite ich das analytisch her?

Danke schon mal im Vorhinein!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Na einfach mal einsetzen:



und ausrechnen.


Etwas eleganter wäre schon der Zugang, wenn man vorab mittels einer standardnormalverteilten Zufallsgröße darstellt, über die wohlbekannte lineare Transformation :



Spart ein wenig Schreiberei, lässt sich mit dem obigen Ansatz aber auch sehr schnell über eine entsprechende Substitution erreichen. Augenzwinkern

Vielleicht noch ein Tipp: Im zusammengefassten Exponenten dann quadratisch ergänzen!
jacko Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke! Der Erwartungswert ist jetzt klar:



Da haben wir einfach das Integral einer NV mit Mittelwert sigma und Varianz 1, dieses ist klarerweise 1 und es bleibt exp(my + sigma^2 / 2) übrig.

Was mach ich jetzt bei der Varianz, da schaut das Integral nämlich gar nicht schön aus...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jacko

Da fehlt rechts ein Quadrat im Exponenten des Vorfaktors:



Zitat:
Original von jacko
Was mach ich jetzt bei der Varianz, da schaut das Integral nämlich gar nicht schön aus...



Und da gemäß Potenzgesetzen



gilt, ist das Integral kein bisschen schwerer als das da oben beim Erwartungswert!
jacko Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

nochmals vielen Dank, die Varianz war also auch kein wirkliches Problem mehr.

Eine (hoffentlich) letzte Frage: Wenn jetzt (X1, X2) bivariat normalverteilt ist mit E(X1)=my1, E(X2)=my2, Var(X1)=sigma1^2, Var(X2)=sigma2^2 und Corr[X1, X2] = rho, wie bekomme ich da die Kovarianz, also Cov(exp(X1), exp(X2))?
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