summenformel herausfinden...

21.10.2008, 18:51

firemansam

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summenformel herausfinden...

hallo zusammen!

sitze jetzt schon seit geraumer zeit vor einem beispiel, komme aber nicht drauf, wie ich das machen soll....

also... ich soll die summenformel für folgenden ausdruck berechnen...
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n-1}~\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

könnte mir da jemand helfen? bitte....

21.10.2008, 19:22

tigerbine

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kommt dir das bekannt vor
http://de.wikipedia.org/wiki/Pascalsches_Dreieck#Die_Zeilen

21.10.2008, 19:23

DarkD

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RE: summenformel herausfinden...
Hi,

berechne doch erstmal die ersten 5 Summen und guck, ob du ein Muster erkennen kannst.
Das dürfte dir beim Aufstellen der Summenformel helfen.

EDIT:
Oder man guckt einfach auf Wikipedia nach ...
Aber wenn man sich die ersten paar Werte angeguckt hätte, wer man auch nach endlicher Zeit drauf gekommen.

21.10.2008, 19:37

firemansam

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danke für eure antworten

habe bei wiki nachgschaut jedoch verstehe ich den sinn nicht ganz von diesen dreieck höre das heute zum ersten mal

habe auch die summen für die ersten 10 n's ausprobiert kann jedoch leider keinen sinn dahinter endtecken bzw die logik nicht erkennen

21.10.2008, 19:45

DarkD

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Naja wenn du auf der Wikipedia seite guckst, dann findest du unter der Überschrift "Die Zeilen" die Summenformel.

Aber ich würd dir lieber empfehlen es selbst zu probieren. Ich würd dir auch empfehlen die Summe von k=0 bis n gehen zu lassen, dann sieht man das ein bisschen leichter.

Dann kommt bei n=0 0 raus und bei n=1 2 bei n=2 4 etc.

21.10.2008, 19:51

firemansam

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wenn ich es von 0 bis n gehen lasse ist mir die logik schon klar

nur ich muss es von "2" bis"n-1" gehen lassen

hierbei kann ich keine logik finden

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21.10.2008, 19:58

DarkD

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Dann müssten wir in der Summenformel nur statt n ein n-1 schreiben.

Und da wir von 2 bis n-1 aufsummieren, aber in der Summenformel die Summe der Elemente 0 bis n-1 steht, musst du nur noch das 0. und 1. Element anpassen.

Dann müsstest du die Summenformel auch von 2 bis n-1 finden können.

21.10.2008, 20:15

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n-1}\binom n k = \sum_{k=0}^n\binom n k - \binom n 0 - \binom n 1 - \binom n n. \end{eqnarray*}$

21.10.2008, 20:46

firemansam

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irgendwie tu ich mir beim logischen denken schon schwer....

wenn ich jetzt zB n=8 setze, dann kommt für die summe von null bis n ( von 8 über null) neun raus....

dann ziehe ich (8 über 0) ab - also 1....

dann noch (8 über 1) weg - also 8....

und dann noch 8 über 8 - also wieder 1

und dann rechne ich...hmmmm... dann komm ich irgendwie nicht weiter...

(8 über 0) = 1

(8 über 1) = 8

(8 über 8) = 1

dann kommt doch laut der formel -1 raus... oder irre ich da total?

bin über eure hilfe ( auch bis jetzt schon ) wirklich dankbar...

21.10.2008, 20:54

AD

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Zitat:

Original von firemansam
dann kommt für die summe von null bis n ( von 8 über null) neun raus

Ja und? Es geht um "8 über k" ! Bitte gründlich die Formeln lesen, dann muss man nicht solche Fragen stellen.

21.10.2008, 20:59

DarkD

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Zitat:

wenn ich jetzt zB n=8 setze, dann kommt für die summe von null bis n ( von 8 über null) neun raus....

Kann nicht stimmen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{8}{\binom nk} =\binom 80 + \binom 81 + \binom 82 + ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 + 8 + 28 + ... \end{eqnarray*}$

Da wird bestimmt nicht mehr 9 rauskommen.

21.10.2008, 21:15

firemansam

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oke oke... kenn mich schon aus....

also.. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^8~\begin{pmatrix} 8 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ergibt 256

davon muss ich dann noch (8 über 0), (8über1) und( 8 über 8) abziehen... und dann hab ich das ergebnis für die summe von i = 2 bis n-1

stimmt das so?

21.10.2008, 21:20

DarkD

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Ja, das stimmt soweit.

(Abgesehen davon, dass du manchmal i und k vertauscht hast, aber das hast du dich wohl einfach nur verschrieben).

Die Rechnung passt.

21.10.2008, 21:24

firemansam

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puh... danke für die große hilfe....

21.10.2008, 21:42

firemansam

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eine allerletzte frage diesbezüglich hätte ich noch für so ein ähnliches bsp

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~ \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}*(-1)^{i} \end{eqnarray*}$

kann ich dass dann wieder so auf die Form $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~ \end{eqnarray*}$ bringen?

falls ja stimmt mein ansatz?

$\begin{eqnarray*} [\sum_{i=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}*(-1)^{i} ] - [\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}*(-1)^{0}] \end{eqnarray*}$

danke für letzte informationen hoffe dass mir endlich der knopf augegangen ist...

21.10.2008, 21:53

DarkD

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Ja, stimmt soweit.
Zumindest seh ich keinen Fehler.

Willst du für diese Summe auch eine Summenformel bestimmen?

21.10.2008, 22:09

firemansam

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danke..

ja muss ich wieso?

kann diese stimmen [2^n *(-1)^n]-1 ?

bzw. stimmt die vom letzten bsp? : 2^n -(n+2)

21.10.2008, 22:22

DarkD

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Zitat:

Original von firemansam
kann diese stimmen [2^n *(-1)^n]-1 ?

Für n=1 hab ich raus:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^1 {\binom 1i \cdot (-1)^i = 0} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (2^1 \cdot (-1)^1)-1 = (2 \cdot (-1)) -1 = -3 \end{eqnarray*}$

Deine Vermutung passt also nicht!

Zitat:

Original von firemansam
bzw. stimmt die vom letzten bsp? : 2^n -(n+2)

Ja, stimmt.Hab ich auch raus.

21.10.2008, 22:34

firemansam

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bin während ich auf deine antwort gewartet habe drauf gekommen dass diese formel

[2^n *(-1)^n]-1 nur für n = gearde zahlen gilt

wo könnte ich den fehler gemacht haben? ´, dass diese formel für n= ungerade zahlen nicht stimmt?

kann diese stimmen?

[((2^n)-1)]*(-1)^n

21.10.2008, 22:44

DarkD

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(((2^n)-1))*(-1)^n kann auch nicht stimmen.
Für n=1 kommt da -1 raus. Es muss aber 0 rauskommen.

Ich wusste die Summenformel auch nicht so auf Anhieb.
Aber ich hab mal ein paar Summen berechnet.

Hier mal ein paar Ergebnisse:

n Summe
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0

Witzigerweise kommt (scheinbar) immer 0 raus. Das müsste man natürlich noch beweisen. Scheint sehr interessant zu sein die Summe, ich muss mal noch näher Untersuchen, warum da immer 0 rauskommt.

EDIT:

Ich habs eben mal in ein Matheprogramm eingegeben und der meint, dass 1 rauskommt für n=0 und 0 für n ungleich 0

21.10.2008, 22:55

tigerbine

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Servus,

welche Formel/Summe macht ihr denn gerade? Könnt ihr gerade mal zitieren. Danke.

21.10.2008, 22:58

DarkD

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Zitat:

Original von firemansam
eine allerletzte frage diesbezüglich hätte ich noch für so ein ähnliches bsp

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~ \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} \cdot (-1)^{i} \end{eqnarray*}$

21.10.2008, 22:59

tigerbine

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Hier mal schauen. http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient. Setzt man nun dreist x=1, y=(-1) kommt man auf

$\begin{eqnarray*} (1+(-1))^n=\sum_{k=0}^n \binom nk 1^{n-k} (-1)^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\sum_{k=0}^n \binom nk \cdot (-1)^k \end{eqnarray*}$

21.10.2008, 23:01

DarkD

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Jaaa, sowas dachte ich mir, da hätte ich gleich drauf kommen können.

Gesucht war übringens die Summe, die von i=1 losgeht.
Aber da wir nun dieselbe Summe von i=0 haben, sollte der Rest ein Kinderspiel sein.

21.10.2008, 23:02

tigerbine

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Naja, wollte euch ja nicht den Spass nehmen. Aber der Schlüssel sollte nun da sein. Wink

Wink

21.10.2008, 23:13

firemansam

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könnte es sein, dass ich bei der ganzen geschichte nicht ganz mitkomme

schlussendlich ist es ja die selbe formel wie ich sie in der angabe habe nur das 0=...

davor steht.....sollte dieses kleine detail den "aha-effekt" bringen?

bitte um kurze aufklärung....*verwirrt bin*

21.10.2008, 23:17

tigerbine

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Tja, so eine Summe kann man ja auch auseinander ziehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} (1+(-1))^n=\sum_{k=0}^n \binom nk 1^{n-k} (-1)^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\sum_{k=0}^n \binom nk \cdot (-1)^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= \binom n 0 \cdot (-1)^0 + \sum_{k=1}^n \binom nk \cdot (-1)^k \end{eqnarray*}$

Wie steht es nun mit dem AHA?

21.10.2008, 23:26

firemansam

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dh. dass immer null raus kommen sollte? wegen 0=...

frage könnte man auf diese formel auch ohne bücher kommen?

bin was summenformel, reihen folgen...und noch vieles mehr noch ziemlich im anfangsstadium da ich auf meiner alten schule diesen stoff nie gemacht habe und dieses jahr mit math studium angefangen habe...

oder soll diese formel nur eine erklärung sein warum immer 0 raus kommt egal für welche n?

21.10.2008, 23:27

firemansam

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Zitat:

Original von firemansam
eine allerletzte frage diesbezüglich hätte ich noch für so ein ähnliches bsp

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~ \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}*(-1)^{i} \end{eqnarray*}$

kann ich dass dann wieder so auf die Form $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~ \end{eqnarray*}$ bringen?

falls ja stimmt mein ansatz?

$\begin{eqnarray*} [\sum_{i=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}*(-1)^{i} ] - [\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}*(-1)^{0}] \end{eqnarray*}$

danke für letzte informationen hoffe dass mir endlich der knopf augegangen ist...

stimmt diese annahme jetzt noch?

21.10.2008, 23:31

tigerbine

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Also lesen musst du schon selbst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

wegen 0=...

unglücklich

Rechts stehen 2 summanden, nur einer ist gesucht. also würde ich das erstmal umstellen.

Naja, ich denke ein bisserl Griff in die Trickkiste ist bei sowas schon mal von Nöten, zumal man dann ja meist mit dem Bekannten Summenwert diesen durch Induktion noch zeigen soll.

Man sicher auch immer erstmal ein paar Summen für n=1,2,3 etc bestimmen und ein system vermuten und dann versuchen wie weit man mit Induktion kommt.

21.10.2008, 23:35

firemansam

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danke einmal für die hilfe...

werde mich jetzt noch einmal dazu sitzen..

kleine frage könnte mir irgendwer von euch zwei (nur sofern ihr diese habt) die gesuchte summenformel reinstellen?

wäre nett falls ihr diese noch nicht / nicht habt auch kein problem dann werde ich morgen bei den übungen sehen ob sie richtig ist oder falsch

danke nochmals gute nacht

22.10.2008, 00:32

tigerbine

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0= \binom n 0 \cdot (-1)^0 + \sum_{k=1}^n \binom nk \cdot (-1)^k \end{eqnarray*}$

Nun kannst du doch einfach umstellen.

$\begin{eqnarray*} - \binom n 0 \cdot (-1)^0 = \sum_{k=1}^n \binom nk \cdot (-1)^k \end{eqnarray*}$

http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoe...nt#Rechenregeln

$\begin{eqnarray*} - 1 = \sum_{k=1}^n \binom nk \cdot (-1)^k \end{eqnarray*}$

Hoffe du siehst es nun. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.10.2008, 01:52

WebFritzi

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Beide Aufgaben sind in einer Zeile mittels der geltenden Formel

$\begin{eqnarray*} (x + y)^n = \sum_{k=0}^n \binom n k x^k y^{n-k} \end{eqnarray*}$

lösbar.

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