X und Y seien auf (0, 1) stetig gleichverteilt und unabhängig. Es sei Z = max(X, Y )

21.10.2008, 21:40

eisprinzessin

X und Y seien auf (0, 1) stetig gleichverteilt und unabhängig. Es sei Z = max(X, Y )

X und Y seien auf (0, 1) stetig gleichverteilt und unabhängig. Es sei Z = max(X, Y ).
(a) Berechnen Sie die Verteilungsfunktionen von Z!
(b) Berechnen Sie die Dichtefunktion von Z !
(c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Z !
Hinweis: {Z ≤ t} = {X ≤ t} ∩ {Y ≤ t}. Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von Z
mit Hilfe der von X und Y.

hi,

verstehe das mit dem max(x,y) nicht. hat jemand eine idee wie diese aufgabe zu lösen ist.

vielen dank

21.10.2008, 22:45

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Ich antworte gern, aber nicht solange achtlos solche Copy+Paste-Sünden

Zitat:

Original von eisprinzessin
{Z ≤ t} = {X ≤ t} ∩ {Y ≤ t}

hingeknallt werden. unglücklich

22.10.2008, 00:08

eisprinzessin

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oh!

da hast du natürlich recht ;-)

X und Y seien auf (0, 1) stetig gleichverteilt und unabhängig. Es sei Z = max(X, Y ).
(a) Berechnen Sie die Verteilungsfunktionen von Z!
(b) Berechnen Sie die Dichtefunktion von Z !
(c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Z !
Hinweis: {Z <= t} = {X <= t} UND {Y <= t}. Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von Z
mit Hilfe der von X und Y.

22.10.2008, 03:29

WebFritzi

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X und Y sind messbare Funktionen, die von irgendeinem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,\Sigma,P) \end{eqnarray*}$ nach (0,1) abbilden. Also ist

$\begin{eqnarray*} Z(\omega) = \max(X(\omega),Y(\omega)) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \omega\in\Omega. \end{eqnarray*}$

22.10.2008, 12:24

godfather

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Servus,
ist es so, dass die beiden Zufallsvariablen X und Y identische verteilt sind, also mit 1 zwischen o und 1 und 0 sonst?
Dann wäre das Maximum ja gerade wieder die gleiche FUnktion..
Oder habe ich einen Denkfehler?
Gleichverteilt zwischen 0 und 1 heißt doch, dass die W'keitsfunktion in diesem Bereich eine Gerade bei 1 bildet. Für alle Werte kleiner 0 und größer 1 ist die W'keit gleich 0.

So würde ich das verstehen.

Dichte, Varianz, E(X) lassen sich doch dann leicht berechnen....

LG

22.10.2008, 15:00

WebFritzi

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Ich glaube, du bringst da einiges durcheinander. Die reellen Zahlen außerhalb von (0,1) spielen keine Rolle, denn

$\begin{eqnarray*} X : \Omega\to (0,1). \end{eqnarray*}$

"Gleichverteilt" bedeutet nun, dass

$\begin{eqnarray*} P(X\in A) = \lambda(A) \end{eqnarray*}$

gilt für jede messbare Menge $\begin{eqnarray*} A\subset (0,1). \end{eqnarray*}$ Dabei ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ das Lebesgue-Maß auf (0,1). Es folgt für die Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F(x) = P(X\le x) = P(X\in (0,x]) = \lambda((0,x]) = x. \end{eqnarray*}$

Wegen

$\begin{eqnarray*} \int_0^x \,dt = x \end{eqnarray*}$

ist die Dichtefunktion die konstante Einsfunktion.

22.10.2008, 22:54

godfather

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Alles klar!
Vielen Dank, dann habe ich es also richtig verstanden.

Sehr gut!

Danke Augenzwinkern

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X und Y seien auf (0, 1) stetig gleichverteilt und unabhängig. Es sei Z = max(X, Y )

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