implizite funktionen - kettenregel

21.10.2008, 22:34	wanoek	Auf diesen Beitrag antworten »
implizite funktionen - kettenregel hallo leute, brauche mal rat von euch. also gegeben sei eine funktion *$\begin{eqnarray} F: \mathbb R \times \mathbb R \rightarrow \mathbb R^n \end{eqnarray}$* mit der eigenschaft: ist für $\begin{eqnarray} y\in C^1 (I, \mathbb R) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ Intervall in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(x,y(x))=C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\in I \end{eqnarray}$ so ist $\begin{eqnarray} y'(x)=\frac{p(x)}{q(y)} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p,q\in C^0(\mathbb R), q(z)\neq 0 \end{eqnarray}$ nun als hinweis soll man die gleichung von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ nach x differenzieren ... hier kommt es schon zu schwierigkeiten. also da $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ eine konstante ist, ist die ableitung davon wohl null oder nicht ? d.h.: $\begin{eqnarray} F'(x,y(x))=0 \end{eqnarray}$ und das ist mit der kettenregel $\begin{eqnarray} F'(x,y(x))=D_xF(x,y(x))+D_yF(x,y(x))y'(x)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow y'(x)=-\frac{D_xF(x,y(x))}{D_yF(x,y(x))} \end{eqnarray}$ kann ich mir jetzt diese p(x) und q(y) einfach so definieren wie es da steht oder ist falsch was ich hier mache ? weiter, was bedeutet dieses $\begin{eqnarray} C^0 \end{eqnarray}$ ? einfach nur, dass diese funktion nicht differenzierbar ist ?
22.10.2008, 17:19	Münster	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt soweit. Und nun kannst du dir auch wirklich den Zähler als p(x) und den Nenner als q(y) definieren. Nur den zweiten Teil der Aufgabe hab ich noch nicht... Bestimmen sie F. Wie leite ich das nun auf?
22.10.2008, 18:15	wanoek	Auf diesen Beitrag antworten »
einfach nur als p und q definieren ? ist doch billig irgendwie ... naja zu der funktion F, hab hier was im ohlberger skript gefunden (höhere numerik aus SS08, s. 8) ... $\begin{eqnarray} F(x,y)=\int_a^xp(t)dt+\int_{y_0}^yq(s)ds \end{eqnarray}$
22.10.2008, 19:35	Münster	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis ist klar. Nur komm ich nicht auf den Weg... Einfach definieren. Das machen die bei ihren GDGL auch andauernd ^^.
23.10.2008, 00:43	wanoek	Auf diesen Beitrag antworten »
nun ... wenn man sich es so definiert, dann braucht man ja nur noch die stammfunktion von F' zu berechnen, damit erhält man doch die gewünschte form, allerdings komm ich mit den grenzen noch nicht klar: $\begin{eqnarray} F'(x,y(x))=-p(x)+q(y)y'(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p(x)=-D_xF(x,y(x)) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q(x)=D_yF(x,y(x)) \end{eqnarray}$ nun erhält man mit der integration durch substitution $\begin{eqnarray} F(x,y(x))=\int_?^?-p(t)dt+\int_?^?q(y)y'(x)dx=\int_?^?-p(t)dt+\int_{y(?)}^{y(?)}q(s)ds \end{eqnarray}$

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