Ausdruck beweisen

22.10.2008, 07:41

eierkopf1

Ausdruck beweisen

Hallo!

Folgendes Beispiel, bei dem ich nicht weiß, was ich machen bzw. anfangen soll:

"Beweisen Sie für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N: ~ g_n = (n-1)^3 +n^3 + (n+1)^3 \end{eqnarray*}$ ist durch 9 teilbar."

Wie beweise ich sowas?

mfg

22.10.2008, 07:51

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

Induktion nach n ginge.

22.10.2008, 07:59

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Das dachte ich mir auch.

Aber wie bringe ich das "durch 9 teilbar" in die Induktion bzw. wie beweise ich das?

mfg

22.10.2008, 08:28

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} g_{n+1} = g_n + R \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ offensichtlich durch 9 teilbar ist, wie du sehen wirst.

22.10.2008, 08:40

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie komme ich trotzdem nicht weiter:

Was ich bis jetzt habe:

1. Induktionsbasis: n=1
$\begin{eqnarray*} g_1=9 \end{eqnarray*}$ und das ist durch 9 teilbar. Also wahr.

2. Induktionsannahme:
Das der in der Angabe stehende Ausdruck durch 9 teilbar ist.

3. Induktionsbehauptung:
$\begin{eqnarray*} g_{n+1}=n^3+(n+1)^3 + (n+2)^3 \end{eqnarray*}$ soll durch 9 teilbar sein und das ist zu zeigen.

Jetzt versuche ich das zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} g_{n+1}= g_n +R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(n-1)^3+n^3 + (n+1)^3 +R \end{eqnarray*}$

Jetzt hänge ich: Wie soll ich mit dem R weiter rechnen bzw. zeigen das es durch 9 teilbar ist?

mfg

22.10.2008, 08:59

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst ebenfalls die Definition von $\begin{eqnarray*} g_{n+1} \end{eqnarray*}$ ins Spiel bringen, um $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

22.10.2008, 09:15

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hilfe!

Ich versuchs mal weiter:
Die nächste Zeile wäre:

$\begin{eqnarray*} g_{n+1}= n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 = (n-1)^3+n^3 + (n+1)^3 +R \end{eqnarray*}$

Jetzt umformen, dass das R alleine steht:
$\begin{eqnarray*} R=(n+2)^3 - (n-1)^3 \end{eqnarray*}$

Jetzt sollte ich zeigen, dass R durch 9 teilbar ist. Aber wie funktioniert das?

mfg

22.10.2008, 12:14

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Rechne das R doch einfach mal weiter aus!

22.10.2008, 12:33

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} R=9n^2 + 9n + 9 = 9(n^2 + n +1) \end{eqnarray*}$ und damit ist R durch 9 teilbar.

Dann setze ich hier R ein:
$\begin{eqnarray*} g_n + R = (n-1)^3+n^3 + (n+1)^3 +R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_n + R = (n-1)^3+n^3 + (n+1)^3 +(n+2)^3 - (n-1)^3 \end{eqnarray*}$

Ausgerechnet:
$\begin{eqnarray*} g_n + R = n^3 + (n+1)^3 +(n+2)^3 \end{eqnarray*}$

Und das war zu zeigen.

Also gilt: $\begin{eqnarray*} g_{n+1} = g_n +R \end{eqnarray*}$

Damit bin ich fertig Prost

Eine Frage noch: Was ist R? Ist R der Wert, um den sich $\begin{eqnarray*} g_n \end{eqnarray*}$ bei n+1 ändert. Oder wie könnte man das am besten beschreiben?

mfg

PS: Danke für die Hilfe an alle Mit Zunge

EDIT: Fehler ausgebessert

22.10.2008, 12:43

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ausdruck beweisen

Zitat:

Original von eierkopf1
"Beweisen Sie für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N: ~ g_n = (n-1)^3 +n^3 + (n+1)^3 \end{eqnarray*}$ ist durch 9 teilbar."

Wie beweise ich sowas?

Das geht auch ohne vollständige Induktion. Es ist $\begin{eqnarray*} g_n = 3n \cdot (n^2+2) \end{eqnarray*}$

Ist n durch 3 teilbar, dann ist die Teilbarkeit durch 9 sofort klar. Ansonsten ist n² + 2 durch 3 teilbar, was sich auch relativ schnell zeigen läßt.

22.10.2008, 12:49

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine erste Zeilen enthält nach den Ausklammern der 9 noch Schreibfehler.

R wurde eingeführt als $\begin{eqnarray*} g_{n+1}=g_n+R \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} R=g_{n+1}-g_n \end{eqnarray*}$ . Viel besser als durch seine Definition lässt sich R auch nicht beschreiben. Und da R über obige Gleichung eingeführt und von dir berechnet wurde, ist es überflüssig, zum Schluss noch mal zu zeigen, dass die Definitionsgleichung erfüllt ist.

22.10.2008, 14:44

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Da man eh rechnen muss, würde ich auch eher die vollständige Induktion knicken.

Neue Frage »

Antworten »

Ausdruck beweisen

Verwandte Themen