Ableitung der Umkehrfunktion

27.07.2006, 19:17

Nossa1

Ableitung der Umkehrfunktion

Hallo!

Es gibt ja die Formel um die Ableitung der Umkehrfunktion zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} g(y) = \frac{1}{f'(g(y))} \end{eqnarray*}$

wie kann ich nun die Werte der zweiten Ableitung der Umkehrfunktion
berechnen?

$\begin{eqnarray*} g''(y) = \frac{f''(x)}{(f'(x))^{2}} \end{eqnarray*}$ ?

und wie die Werte der Umkehrfunktion selbst, also z.b. g(y)?

27.07.2006, 21:04

Nossa1

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Ich habe gefunden:
zweite Ableitung der Umkehrfunktion:

$\begin{eqnarray*} g''(y)=\frac{f''(y)}{(f'(x))^{3}} \end{eqnarray*}$

kann das sein?

jetzt fehlt mir noch , wie man den Funktionswert g(y) berechnet.

27.07.2006, 22:06

Abakus

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Zitat:

Original von Nossa1
Ich habe gefunden:
zweite Ableitung der Umkehrfunktion:

$\begin{eqnarray*} g''(y)=\frac{f''(y)}{(f'(x))^{3}} \end{eqnarray*}$

kann das sein?

Ja, korrekt. Das siehst du mittels korrekter Anwendung der Kettenregel.

Zitat:

jetzt fehlt mir noch , wie man den Funktionswert g(y) berechnet.

Das hängt sicher von f bzw. g ab. Oft wird dies nur mit numerischen Verfahren gehen, d.h. es gibt keine allgemeine Regel.

Grüße Abakus smile

27.07.2006, 22:16

Nossa1

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thx,

Es ging um folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(x):= cosx -cos(2x) + 2cos^{3}(x), x\in (0,\pi ) \end{eqnarray*}$

a) man Zeige zu f(x) ex. die Umkehrfkt. g(y) (klar)
b)Man berechne g(1), g'(1) (ok) , g''(1) (jetzt auch ok),

aber g(1) fehlt.
Muss man g(y) manuell ausrechnen?

27.07.2006, 22:52

Abakus

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Zitat:

Original von Nossa1
Muss man g(y) manuell ausrechnen?

g(1) ausrechnen reicht für die Frage; versuche ein Additionstheorem für cos(2x) und löse damit die Gleichung.

Grüße Abakus smile

EDIT: Text

01.01.2009, 17:27

kako

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Hallo,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} g''(y)=\frac{f''(y)}{(f'(x))^{3}} \end{eqnarray*}$

ich habe zur Zeit dieselbe Aufgabe vor mir liegen.
Die erste Ableitung: $\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))} \end{eqnarray*}$
Allerdings komme ich mit Hilfe der Kettenregel auf folgende zweite Ableitung:
$\begin{eqnarray*} (f^{-1})''(y)=\frac{-f''(x)}{(f'(x))^{2}} \end{eqnarray*}$
Ich habe $\begin{eqnarray*} f^{-1} = g \end{eqnarray*}$ gesetzt.

Hierbei habe ich $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{h})'(a) =\frac{-h'(a)}{(h(a))^{2}} \end{eqnarray*}$ angewandt. Liegt hier evtl. schon der Fehler?

Könnte mir jemand erklären, was ich falsch gemacht bzw. wo ich mich verrechnet habe?

Herzlichen Dank schonmal.

LG kako

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