Gleichmächtigkeit

27.07.2006, 19:46

way

Gleichmächtigkeit

Hi Leute,

weiss einer von euch vielleicht wie ich die Gleichmächtigkeit vom geschlossenen Intervall der reellen Zahlen zwischen 0 und 1, und allen reellen Zahlen zeigen kann?

Grüsse...

27.07.2006, 20:15

mercany

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Hallo.

Kennst du den Satz von Schröder Bernstein?
Ansonsten gibt es auch noch eine andere Alternative....

Gruß, mercany

27.07.2006, 20:22

way

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Hi mercany,

nein, den Satz kenn ich leider nicht.
Aber ich habe folgende Idee:

Ich weiss, dass das geschlossene Intervall zwischen 0 und 1 überabzählbar ist.
Ausserdem weiss ich, dass, wenn man zu einer unendlichen Menge, egal wieviel Elemente auch noch dazu tut, die Mächtigkeit der unendlichen Menge sich nicht ändert.

Das heisst, wenn ich dem Intervall zwischen 0 und 1, also der überabzählbaren Menge noch weitere Elemente dazu tue, sprich den Rest der reellen Zahlen, ändert sich an der Mächtigkeit des Intervalls zwischen 0 und 1 nichts.

Also müssen auch die kompletten reellen Zahlen überabzählbar sein, und somit Gleichmächtig zum Intervall zwischen 0 und 1.

Kann ich so argumentieren?

Grüsse...

27.07.2006, 20:32

mercany

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Schön und gut. Aber nur alleine die Behauptung, die Menge R sei überabzählbar ist noch lange kein Beweis.

Du musst schon eine Bijektion f: R[0,1] --> R zeigen.

Gruß, mercany

27.07.2006, 20:37

way

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Schade, für mich war das so total klar.

Das hab ich mir davor schon überlegt mit der Bijektion, bin aber leider auf keine Lösung gekommen.

Hast Du mir einen Tip :-)

Mal abgesehn davon ist das doch nicht nur eine Behauptung, ich hab es doch begründet, wie ich dazu komme, dass R überabzählbar ist. Oder nicht?

27.07.2006, 22:07

akechi90

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Probiers doch mal mit der Abbildung:

$\begin{eqnarray*} f:x \to \frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

Die müsste deinen Forderungen entsprechen Augenzwinkern

EDIT: Wenn man nicht sofort auf die Idee kommt, kommt man im seltensten Falle selbst drauf, das ist das Problem bei der Sache.

27.07.2006, 22:28

mercany

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Zitat:

Original von way
Mal abgesehn davon ist das doch nicht nur eine Behauptung, ich hab es doch begründet, wie ich dazu komme, dass R überabzählbar ist. Oder nicht?

Vielleicht begründet, es jedoch nicht mathematisch gezeigt.

Zitat:

Original von akechi90
Probiers doch mal mit der Abbildung:

$\begin{eqnarray*} f:x \to \frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

Da fehlen aber auch noch die Einschränkungen. Für welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

Gruß, mercany

27.07.2006, 22:37

akechi90

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Tut mir leid, hab vergessen die Definitionsmeneg von x anzugeben...

$\begin{eqnarray*} D_{x}= \mathbb R^{+} \end{eqnarray*}$

Und jetzt erst merke ich, dass dadurch nicht das gesamte Intervall abgebildet habe, scheiße Hammer

EDIT: Die beste Abbildung ist meiner Meinung nach folgende:

$\begin{eqnarray*} f: x \to \frac{arctan(x)}{ \pi } + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Die ist für ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert.

27.07.2006, 22:39

way

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Hi mercany,

mit Begründung meinte ich mathematisch gezeigt, aber ich mach mir nochmal Gedanken, danke.

Es kann ja nur für x€R gelten. Da es bijektiv sein muss, muss es für alle x€R gelten. Seh ich doch richtig oder?

Hi akechl90,

erst mal danke!

ich hab da mal paar durchprobiert, aber das ist wohl nicht der richtige weg.
Irgendwie steh ich aufm Schlauch wie ich das für alle x€R zeigen kann...

27.07.2006, 22:43

papahuhn

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Zitat:

Original von way
Ausserdem weiss ich, dass, wenn man zu einer unendlichen Menge, egal wieviel Elemente auch noch dazu tut, die Mächtigkeit der unendlichen Menge sich nicht ändert.

Wie kommst du denn darauf? Füge zur Menge $\begin{eqnarray*} [0, 1] \end{eqnarray*}$ die Menge $\begin{eqnarray*} Pot([0,1]) \end{eqnarray*}$ hinzu und schon hast du keine Gleichmächtigkeit mehr.

27.07.2006, 22:44

akechi90

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Habe die Abbildungsvorschrift im vorigen Post editiert ^^
Jetzt habe ich eine gültige Abbildung gefunden, die steht im EDIT von meinem letzten Post.

27.07.2006, 22:47

mercany

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Zitat:

Original von akechi90
Tut mir leid, hab vergessen die Definitionsmeneg von x anzugeben...

$\begin{eqnarray*} D_{x}= \mathbb R^{+} \end{eqnarray*}$

Und jetzt erst merke ich, dass dadurch nicht das gesamte Intervall abgebildet habe, scheiße Hammer

Jap, genau das war was ich meinte. Augenzwinkern

@way
Das war aber einfach keine mathematische Begründung.

Betrachte die Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\,\ (0,1) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) =\begin{cases}\frac{1}{x} - 2 & 0<x\leq 1/2\\ \frac{1}{x-1}+2 & 1/2 < x < 1\end{cases} \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

27.07.2006, 22:50

akechi90

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Sehet und ergötzet euch an diesem mächtigen Mächtigkeitsbeweis, ihr ehrwürdigen Götter des Matheforum:

$\begin{eqnarray*} f: x \to \frac{arctan(x)}{ \pi } + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Habs schon vorhin geschrieben, aber zur Sicherheit ^^

29.07.2006, 14:36

WebFritzi

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Ich finde

$\begin{eqnarray*} f(x) := \frac{1}{1-x} - \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

auf ]0,1[ noch am besten:

29.07.2006, 14:52

JochenX

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Auch wenn an dein Verhalten in der Vergangenheit keine guten Erinnerungen habe, will ich dir die Chance geben, zu beweisen, dass du dich in einiger Hinsicht geändert hast, way.
Darum auch noch eine Antwort von mir, die ist zum schnellen Einsehen (und zum anschaulichem Erklären, wenn du das anderen beweisen sollst) imho sehr geeignet:
Gleichmächtigkeit

Zitat:

Ausserdem weiss ich, dass, wenn man zu einer unendlichen Menge, egal wieviel Elemente auch noch dazu tut, die Mächtigkeit der unendlichen Menge sich nicht ändert.

Das heisst, wenn ich dem Intervall zwischen 0 und 1, also der überabzählbaren Menge noch weitere Elemente dazu tue, sprich den Rest der reellen Zahlen, ändert sich an der Mächtigkeit des Intervalls zwischen 0 und 1 nichts.

ist Quatsch, tu doch mal zu allen Elementen aus Q (da gibts auch unendlich viele) alle aus IR dazu.
Also mit dem Hinzufügen von überbazählbar vielen Elementen sollte man schon vorsichtig sein.
Überhaupt folgt aus A und B überabzählbare Mengen noch lange nicht, #A=#B

18.11.2010, 18:36

saladin

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Zitat:

Original von mercany
Schön und gut. Aber nur alleine die Behauptung, die Menge R sei überabzählbar ist noch lange kein Beweis.

Du musst schon eine Bijektion f: R[0,1] --> R zeigen.

Gruß, mercany

Reicht es eigetnlich wenn man nur f: R[0,1] --> R zeit? so wie ich dass kenne muss man auch noch

f^-1:R--> [0,1] zeigen .. oder nicht?

25.11.2010, 00:25

Corny

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hey
es langt die erste Bijektion zu zeigen. Denn wenn die Abbildung f bijektiv ist, ist auch die Umkehrfunktion f^-1 bijektiv.

Gruß Corny

08.12.2014, 20:14

Hannibee

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Hallo,

ich habe noch eine Frage zu dieser Aufgabe. Die Funktionen die hier stehen bilden doch jetzt (0,1) auf die reellen Zahlen oder die reellen Zahlen auf (0,1) ab. Was ist aber, wenn ich [0,1] habe und nicht (0,1), dann brauche ich doch eine Funktion die auch 0 und 1 abbildet, bzw. auch 0 und 1 erreicht, wenn [0,1] die Bildmenge ist.

Oder ich müsste noch zeigen, dass (0,1) und [0,1] gleichmächtig sind. Wie aber mache ich das? Am einfachsten ist doch bestimmt von [0,1] auf (0,1) zu gehen, oder? Dann weiß ich wenigstens ganz klar, was ich einsetzen darf und muss mir wieder irgendwas mit Polstellen kontruieren, wobei das Problem hier dann ist, dass ich ja Polstellen/Asymptoten nur dann habe, wenn ich entweder in x oder y Richtung bis Unendlich gehe.

Habt ihr Tipps? Ich wäre dankbar!

08.12.2014, 23:41

HAL 9000

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Etwas seltsam, in einem so alten Thread zu posten ... nun gut.

Zitat:

Original von Hannibee
Oder ich müsste noch zeigen, dass (0,1) und [0,1] gleichmächtig sind. Wie aber mache ich das?

Ganz am Anfang des Threads wurde Schröder-Bernstein erwähnt, das wäre wohl die einfachste Variante. Wenn du das nicht verwenden willst, sondern stattdessen direkt eine bijektive Abbildung zwischen beiden Mengen konstruieren willst - geht auch.

Du selbst findest wahrscheinlich deswegen keine bijektive Funktion $\begin{align*} f:\;[0,1]\to (0,1) \end{align*}$ , weil du da nur über stetigen Funktionen nachdenkst. Da kannst du lange suchen, eine solche gibt es nicht.

Gibt man diese Forderung auf (muss man ja), dann findet man leicht was, z.B.

$\begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & \;\mbox{für}\, x=0 \\ \frac{1}{n+2} & \;\mbox{für}\, x=\frac{1}{n}\,\mbox{mit}\,n\in\mathbb{N} \\ x & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{align*}$ .

Die Umkehrfunktion $\begin{align*} f^{-1}:\; (0,1)\to [0,1] \end{align*}$ ist dann

$\begin{align*} f^{-1}(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\, x=\frac{1}{2} \\ \frac{1}{n-2} & \;\mbox{für}\, x=\frac{1}{n}\,\mbox{mit}\,n\in\mathbb{N},\,n\geq 3 \\ x & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{align*}$ .

09.12.2014, 00:08

URL

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$\begin{eqnarray*} f^{-1}(1)=1, f(1)=\frac 1 3 \end{eqnarray*}$ kann mir bitte jemand über die Straße helfen?

09.12.2014, 08:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Die Umkehrfunktion $\begin{align*} f^{-1}:\; {\color{red}(0,1)}\to [0,1] \end{align*}$

Ich bin ein wenig enttäuscht, dass du das Argument x=1 außerhalb des Definitionsbereiches (!!!) in eine dafür gar nicht vorgesehene Abbildungsvorschrift einsetzt. unglücklich

09.12.2014, 09:58

URL

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Fortgeschrittene Stunde, kleines smartphonedisplay und krank, das war wohl zu viel des Guten.
Danke und bitte um Entschuldigung für diesen kolossalen Bock

09.12.2014, 13:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von URL
kleines smartphonedisplay

Darauf Matheboard geht mit meinen alten Augen gleich gar nicht mehr. Augenzwinkern

Und gute Besserung. Wink

09.12.2014, 13:21

URL

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Wenn ich mich recht erinnere, sind meine Augen fast genauso alt wie deine.
Lektion gelernt, kein matheboard am smartphone smile

Danke

09.12.2014, 19:50

Hannibee

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Vielen Dank.
Ich hatte mir in der Zwischenzeit den Tipp geben lassen Hilberts Hotel zu betrachten und die Zimmer sozusagen mit 1/n statt n zu nummerieren. Da bin ich auf eine ähnliche Lösung gekommen, allerdings nicht so schön, weil ich in zwei Schritten vorgegangen bin

$\begin{eqnarray*} [0,1] \rightarrow (0,1] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \rightarrow \frac{1}{\frac{1}{x}+1} \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \rightarrow x \end{eqnarray*}$ sonst

$\begin{eqnarray*} (0,1] \rightarrow (0,1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \rightarrow \frac{1}{\frac{1}{x}+1} \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \rightarrow x \end{eqnarray*}$ sonst

Jetzt habe ich das auch in schöner, nämlich in einem Schritt. Wenn ich meine beiden Abbildungen verknüpfe dürfte ich doch auf deine kommen, oder?

Ach und ich habe in den alten Thread gepostet, weil dort ja im Prinzip genau die Aufgabe gestellt war. Da wollte ich keinen neuen aufmachen, sondern daran anknüpfen. Es steht ja überall immer, man solle erst mal die Suchfunktion benutzen und schauen, ob nicht schon Hilfestellungen vorhanden sind.

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