Partielle Integration

22.10.2008, 16:40

nonconform

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Partielle Integration

Hallo Leute,

als Hausaufgabe (die ich zu allem Übel auch noch vorstellen muss), soll ich dieses Integral mit partieller Integration lösen.

int_[x^2*sqrt(a^2-x^2)]

Als Hinweis ist zudem gegeben, ich solle u(x)=x wählen.

Somit erhalte ich für
u(x) = x => u'(x)=1
iund
v'(x) = x*sqrt(a^2-x^2) => v(x) = -1/3 * (a^2-x^2)^(3/2)

Somit lässt sich mein Integral folgendermaßen schreiben:

int_[x^2*sqrt(a^2-x^2)] = - 1/3*x*(a^2-x^2)^(3/2) - int_[-1/3*(a^2-x^2)^(3/2)

Leider kann ich aber zu
int_[-1/3*(a^2-x^2)^(3/2) keine Stammfunktion finden, da das ein Problem mit dem -x^2 aus der Klammer ergibt, das nachdiff. ja -2x ist, sich aber nirgendwie wegrechnen lässt.

Der Integrator auf mathematica liefert mir irgendein dubioses Ergebnis, das ich nicht mal richtig ableiten kann... so schwer dürfte die Aufgabe eigentlich nicht zu lösen sein, wir haben nämlich erst heute die Partielle Integration angefangen!

Es wäre wirklich toll, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte!

Danke, Franzi Wink

Wink

22.10.2008, 16:57

WebFritzi

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Bitte benutze den Formeleditor. So liest das keiner.

22.10.2008, 17:14

fr4nci3

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Sorry ... okay, hier nochmal "modifiziert" :-),

als Hausaufgabe (die ich zu allem Übel auch noch vorstellen muss), soll ich dieses Integral mit partieller Integration lösen.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~x^2* \sqrt{a^2-x^2}~dx \end{eqnarray*}$

Als Hinweis ist zudem gegeben, ich solle u(x)=x wählen.

Somit erhalte ich für
$\begin{eqnarray*} u(x) = x => u'(x)=1 \end{eqnarray*}$
iund
$\begin{eqnarray*} v'(x) = x\sqrt{a^2-x^2} => v(x) = -\frac{1}{3}*(a^2-x^2)^{3/2} \end{eqnarray*}$

Somit lässt sich mein Integral folgendermaßen schreiben:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~x^2* \sqrt{a^2-x^2}~dx = [- \frac{1}{3}x(a^2-x^2)^{3/2}]_{0}^a - \int_{0}^{a}~-\frac{1}{3}(a^2-x^2)^{3/2}~dx\ \end{eqnarray*}$

Leider kann ich aber zu
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~\frac{1}{3}(a^2-x^2)^{3/2}~dx\ \end{eqnarray*}$ keine Stammfunktion finden, da das ein Problem mit dem $\begin{eqnarray*} -x^{2} \end{eqnarray*}$ aus der Klammer ergibt, das nachdiff. ja $\begin{eqnarray*} -2x \end{eqnarray*}$ ist, sich aber nirgendwie wegrechnen lässt.

Der Integrator auf mathematica liefert mir irgendein dubioses Ergebnis, das ich nicht mal richtig ableiten kann... so schwer dürfte die Aufgabe eigentlich nicht zu lösen sein, wir haben nämlich erst heute die Partielle Integration angefangen!

Könnte es evtl. sein, dass man bei besagtem Integral einfach ein $\begin{eqnarray*} a2 \end{eqnarray*}$ in der Wurzel ausklammert, radiziert und dann das (\frac{x}{a} )^2 unter der Wurzel subsitituiert und dann die Stammfkt. durch Integration durch Subst. herausfindet?
Es wäre wirklich toll, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte!

22.10.2008, 17:16

nonconformakafr4nci3

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(\frac{x}{a} )^2 sollte $\begin{eqnarray*} (\frac{x}{a} )^2 \end{eqnarray*}$ sein...

22.10.2008, 17:29

WebFritzi

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Substituiere erstmal x = a * sin(t).

22.10.2008, 17:33

nonconform

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Gleich ganz oben?

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22.10.2008, 18:18

WebFritzi

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Nein. Du hast doch ein Problem, eine Stammfunktion zu finden, oder? Also halt genau da.

22.10.2008, 18:23

WebFritzi

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Ach ne, warum nicht gleich ganz oben? Das wäre sogar besser. Verwende dann noch

sin(2t) = 2sin(t)cos(t).

22.10.2008, 18:49

nonconform

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Okay ... Danke!

das Problem ist nur, ich muss dann eben auch erklären, wie ich auf so etwas komme ... und naja, so eine Substitution wär mir jetzt nicht wirklich auf Anhieb eingefallen ...

Mathematica spuckt btw das hier als Lösung aus:

http://heute-trinken-wir-richtig.de/mathematica.jpg

Komm ich mit deiner Methode auch auf so etwas? Die Mathem. Lösung scheint mir, ja, etwas kompliziert... :-/

22.10.2008, 18:53

WebFritzi

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Denke an die Grenzen. Du brauchst also keine Stammfunktion in x. Es reicht dir am Ende eine für das Integral, das nach der Substitution rauskommt.

EDIT: Hast du die Substitution schon durchgeführt?

22.10.2008, 19:06

nonconform

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Ich weiss nicht, wie ich die Subst. mit sin(2t) = 2sin(t)cos(t) durchführen soll...

22.10.2008, 19:09

fr4nc13

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RE: Partielle Integration
Ohje, da bin ich wohl in die falsche Sparte gerutscht mit meinem Thema ... also nix Hochschulmathe, sondern Mathe 13. Klasse...

22.10.2008, 19:12

WebFritzi

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Bitte schreib hier erstmal deine bisherige Rechnung rein.

22.10.2008, 19:22

fr4nc13

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Im Endeffekt bin ich noch nicht weiter als bei meiner Fragestellung.
Letztendlich brauch ich eig. nur die Stammfkt von
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~~dx \frac{1}{3} (a^2-x^2)^{3/2} \end{eqnarray*}$ .

Da wir heute erst mit der Partiellen Integration begonnen haben und somit wirklich noch am Anfang sind, kann ich mit deiner Subst. wenig anfangen ... Versteh mich bitte nicht falsch, ich finds total nett, dass du dich um mein Problem kümmerst und finds wirklich sehr beeindruckend, dass du auf sowas sofort eine Idee parat hast, wie man weitermachen kann ... ich kann mir aber einfach nicht vorstellen, dass wir das so "kompliziert" lösen müssen.

Gehts vielleicht nicht, indem ich da irgendwie ganz easy a^2 - x^2 durch t substituiere? Dieser Lösungsansatz würde rein vom "Draufkommenkönnen" wohl wahrscheinlicher sein...

edit: wenn ich auf deine Substitution mit x=a*sint zurückomme, dann substituiere ich doch gleich ganz zu beginn und integriere dann partiell, oder??

22.10.2008, 19:41

WebFritzi

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Spätestens bei deinem Integral, bei dem du nicht weiterkommst, brauchst du die angegebene Substitution. Ich kann mir nicht vorstellen, wie es anders gehen soll.

Zitat:

Original von fr4nc13
edit: wenn ich auf deine Substitution mit x=a*sint zurückomme, dann substituiere ich doch gleich ganz zu beginn und integriere dann partiell, oder??

Nein, dann musst du nicht mehr partiell integrieren.

22.10.2008, 19:53

fr4nc13

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Okay, dann wäre ich also bei:

$\begin{eqnarray*} x = a (\sin(t)) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} x^2 = a^2 (\sin(t))^2 \end{eqnarray*}$

Dann berechne ich $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx} \end{eqnarray*}$ , löse nach dx auf und setze $\begin{eqnarray*} ~dt \sqrt{a^2-x^2} \end{eqnarray*}$ hinter mein Integral anstelle von dx.

Mein Integral sind dann folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~a^2 (\sin(t))^2 \sqrt{a^2-x^2} ~dt \sqrt{a^2-x^2} \end{eqnarray*}$

Die beiden Wurzeln verrechnen sich zu $\begin{eqnarray*} (a^2-x^2) \end{eqnarray*}$ , dann hab ich

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~a^2 (\sin(t))^2 (a^2-x^2) ~dt \end{eqnarray*}$

Weiter weiss ich dann nicht mehr...

In meinem Buch ist angeben, ich solle u(x) = x wählen ... weisst du auch noch nen Weg mit Partieller Integration?

22.10.2008, 19:58

WebFritzi

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Mach die Substitution nochmal. So ist das falsch. Man macht es so

$\begin{eqnarray*} x = a \sin(t)\;\Longrightarrow\;\frac{dx}{dt} = a\cos(t)\;\Longrightarrow\;dx = a\cos(t)\,dt. \end{eqnarray*}$

22.10.2008, 20:12

fr4nc13

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Gut, dann hab ich später

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~a^3 (\sin(t))^2 \cos(t) \sqrt{a^2-x^2}~dt \end{eqnarray*}$

Oder soll das x unter der Klammer auch noch substituiert werden?
Wie gehts dann weiter? Irgendwie muss dieses x ja noch wegkommen...

22.10.2008, 20:17

WebFritzi

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Zitat:

Original von fr4nc13
Oder soll das x unter der Klammer auch noch substituiert werden?

Ja, natürlich. Wozu sonst der ganze Kram?

22.10.2008, 20:23

fran3cjie

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Ich komm dann auf $\begin{eqnarray*} a^3(\sin(t))^2 \sqrt{1-(\sin(x))^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1-(\sin(x))^2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{(\cos(t))^2 } =\cos(t) \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} a^3(\sin(t))^2 \cos(t) \end{eqnarray*}$

Sollte das stimmen, dann weiss ich hier wieder nicht weiter...

22.10.2008, 20:24

WebFritzi

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Wo bleibt das substituierte dx?

22.10.2008, 20:33

fr4nc13

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Oh shit, der Nachmittag an dieser einen Aufgabe hinterlässt eben schon seine Spuren :-/

Okay, dann ist's wohl

$\begin{eqnarray*} a^3(\sin(t))^2 \cos(t) * a \cos(t) ~dt = a^4(\sin(t))^2 (\cos(t))^2 \end{eqnarray*}$

Tjo, so far :-/

edit: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~ a^4(\sin(t))^2 (\cos(t))^2~dt \end{eqnarray*}$

23.10.2008, 04:29

WebFritzi

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Das sieht schon ganz gut aus. Nun verwende

sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

23.10.2008, 10:46

fr4anc13

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Hallo WebFritzi,

danke erstmal für deine Hilfe. Haben heute die Aufgabe verbessert!
Die Aufgabe hieß ja, man solle $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~x^2\sqrt{a^2-x^2} \end{eqnarray*}$ integrieren.
Im Endeffekt lag alles an diesem Integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~~dx \frac{1}{3} (a^2-x^2)^{3/2} \end{eqnarray*}$ für das ich keine Stammfkt. finden konnte.

Das haben wir ein bisschen verändert, nämlich zu $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~ \frac{1}{3}(a^2-x^2)\sqrt{a^2-x^2} ~dx \end{eqnarray*}$ und dann rechnet sich das zu $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~ \frac{1}{3}a^2\sqrt{a^2-x^2}- \frac{1}{3} x^2\sqrt{a^2-x^2}~dx \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~x^2\sqrt{a^2-x^2} =\int_{0}^{a}~ \frac{1}{3}a^2\sqrt{a^2-x^2}- \frac{1}{3} x^2\sqrt{a^2-x^2}~dx \end{eqnarray*}$ .

Dann addiert man auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~\frac{1}{3} x^2\sqrt{a^2-x^2}~dx \end{eqnarray*}$ . Rechts bleibt dann nur das Integral $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}a^2\sqrt{a^2-x^2} \end{eqnarray*}$ und links hat man $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~\frac{4}{3} x^2\sqrt{a^2-x^2}~dx \end{eqnarray*}$ .

Vom rechten Integral ist die Stammfunktion dann kein Problem (steht in der Formelsammlung). Dann multipliziert man jede Seite noch mit 3/4 und die Aufgabe ist gelöst!

Aber danke nochmal für deine Hilfe!

23.10.2008, 13:18

WebFritzi

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Zitat:

Original von fr4anc13
Vom rechten Integral ist die Stammfunktion dann kein Problem (steht in der Formelsammlung).

Na super. Welche Substitution glaubst du benutzt man denn wohl bei diesem Integral? unglücklich

unglücklich

23.10.2008, 17:04

fr4nc13

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von fr4anc13
Vom rechten Integral ist die Stammfunktion dann kein Problem (steht in der Formelsammlung).

Na super. Welche Substitution glaubst du benutzt man denn wohl bei diesem Integral? unglücklich

unglücklich

x=a*sin(t) ?

Tja, die Formelsammlung eben ...

23.10.2008, 17:07

WebFritzi

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Zitat:

Original von fr4nc13

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von fr4anc13
Vom rechten Integral ist die Stammfunktion dann kein Problem (steht in der Formelsammlung).

Na super. Welche Substitution glaubst du benutzt man denn wohl bei diesem Integral? unglücklich

unglücklich

x=a*sin(t) ?

Freude

23.10.2008, 17:20

fr4nc13

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So unklug bin ich scheinbar gar nicht ;-)

23.10.2008, 17:21

WebFritzi

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Hehe.

Prost

23.10.2008, 17:27

fr4nc13

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Klar ist es witzlos in die FoSa zu gucken ... aber wir haben dieses Integral bestimmt schon mal per Substitution berechnet ... und einmal reicht scheinbar, dass man ab sofort einfach nur aus der FoSa abschreiben darf :-)

23.10.2008, 17:33

WebFritzi

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Du solltest es dir trotzdem merken, dass meistens sowas wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2 - x^2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x = a\sin(t) \end{eqnarray*}$ substituiert wird.

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