Injektivität einer Abbildung mit sin und cos

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22.10.2008, 16:42	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität einer Abbildung mit sin und cos Tag, Ich habe eine Abbildung $\begin{eqnarray} f: \left(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} \right) \mapsto \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(t) = (\cos(t), \sin(2t) \end{eqnarray}$ ich habe folgendes Differential gefunden: $\begin{eqnarray} df(t) = \begin{pmatrix} -\sin(t) \\ 2 \cos(2t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das soll Injektiv sein (damit f eine Immersion ist) Nun ist die Funktion ja komponentenweise nicht injektiv... Ich habe schon den Ansatz versucht zu zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray} - \sin(t_1) = - \sin(t_2) \end{eqnarray}$ , dann $\begin{eqnarray} 2\cos(2t_1) \neq 2\cos(2t_2) \end{eqnarray}$ ist. Das hat aber irgendwie nicht funktioniert...
22.10.2008, 16:51	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)
22.10.2008, 17:04	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
ähm ok, das kann ich einsetzen und dann das Differential bilden, aber irgendwie sieht das dann immernoch nicht wirklich besser aus
22.10.2008, 17:21	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, was du mit deinem Differential willst. Man kann die Behauptung auch elementar beweisen.
22.10.2008, 17:39	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
ich möchte die Injektivität des Differentials zeigen, um zu zeigen dass f eine Immersion ist, das macht man doch so, oder?! Erst danach wollte ich die Injektivität der Abbildung f zeigen
22.10.2008, 18:31	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso. cos(2t) = cos²(t) - sin²(t).
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22.10.2008, 18:43	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Weder Funktion noch Ableitung sind injektiv. Für die Ableitung wähle t1 = pi und t2 = 2pi, für die Funktion t1 = pi/2 und t2 = 3pi/2.
22.10.2008, 19:19	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi also für die Funktion ist definiert auf $\begin{eqnarray} \left(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right) \end{eqnarray}$ sorry, das hatte ich vergessen zu erwähnen, also das Problem was du nanntest besteht nicht. Da muss ich die Injektivität noch zeigen. Beim Differential habe ich ein Verständnisproblem glaube ich. Ich hatte nämlich auch erst dein Gegenbeispiel. Aber mMn zeigt das doch nur, dass $\begin{eqnarray} t \mapsto df(t) \end{eqnarray}$ nicht injektiv ist. Zu zeigen ist aber ja, dass $\begin{eqnarray} x \mapsto df(t) \cdot x \end{eqnarray}$ injektiv ist, oder?! Denn das bedeutet doch, dass das Differential eine injektive Abbildung ist. Dann wäre $\begin{eqnarray} df(t) \end{eqnarray}$ eben abhängig von t, aber die Komponenten Konstant und die Injektivität damit klar.
22.10.2008, 19:38	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die lineare Abbildung df(t) ist natürlich für jedes t injektiv.
22.10.2008, 19:48	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, das hab' ich ja jetzt auch ;-) Nun bleibt noch die Injektivität von f zu zeigen, ich nehme an darauf zielte dein Tip sin(2t) = 2sin(t)cos(t) ab? Ich mache mal ne grobe SKizze wie ich mir das vorstelle: Ich zeige, dass wenn $\begin{eqnarray} \cos(t_1) = \cos(t_2) \end{eqnarray}$ dann gilt $\begin{eqnarray} \sin(t_1) \neq \sin(t_2) \end{eqnarray}$ , richtig?
22.10.2008, 19:56	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn, dann sin(2t_1) und sin(2t_2).
22.10.2008, 19:59	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
ähm ja sorry ok... Klappt das denn auch, wenn ichs richtig mache?
22.10.2008, 20:04	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Glaubst du etwa, ich rechne für dich? Das musst du schon selber machen.
22.10.2008, 20:16	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Nene das meinte ich net Nur ob ich dann auch wirklich die Injektivität gezeigt habe. Ich meine aber schon. Jedenfalls versuche ich gerade, den sch**** zu zeigen

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