Formel für die Varianz

22.10.2008, 16:49

Ökonomiestudent

Formel für die Varianz

Hallo,

ein relativ simples Problem bei der Umformung der Formel für die Varianz:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~(p_{i}x_{i}-E[L])^2=\sum_{i=1}^n~p_{i}x_{i}^2-E[L]^2 \end{eqnarray*}$

Kann ich den indexfreien Faktor hier einfach rausziehen und die quadrierte Klammer ignorieren? Beim Ausrechnen mit der binomischen Formel kriege ich ein anderes Ergebnis.

22.10.2008, 16:55

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Diese Formel ist ja auch falsch. Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~p_{i}(x_{i}-E[L])^2=\sum_{i=1}^n~p_{i}x_{i}^2-E[L]^2 \end{eqnarray*}$ ,

sofern du mit $\begin{eqnarray*} E[L] \end{eqnarray*}$ den Erwartungswert der diskreten Verteilung, also $\begin{eqnarray*} E[L] = \sum_{i=1}^n~p_{i}x_{i} \end{eqnarray*}$ meinst.

22.10.2008, 17:18

Ökonomiestudent

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Stimmt, das $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ habe ich im ungewohnten Kampf mit LaTeX aus Versehen mit in die Klammer reingeschrieben. Deine Formel und die entsprechende Annahme über den Erwartungswert ist natürlich korrekt.

Das Problem bleibt auch jetzt für mich weiterhin bestehen. Obwohl Edith mir gerade flüstert, dass der Hinweis zum Erwartungswert (an sich ja auch eine Summenformel) mich gerade sehr zum Denken anregt.

22.10.2008, 17:47

Ökonomiestudent

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} E[L] = \sum_{i=1}^n~p_{i}x_{i} \end{eqnarray*}$

Okay, wenn ich mich nicht täusche, bin ich durch diesen kleinen Hinweis auf die richtige Lösung gekommen.

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~p_{i}(x_{i}-E[L])^2=\sum_{i=1}^n~p_{i}(x_{i}-\sum_{i=1}^n~p_ix_i)^2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Summenzeichen nun einfach mal ignorieren kann (?), vereinfache ich den Term $\begin{eqnarray*} p_i(x_i-p_ix_i)^2 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} p_ix_i^2-p_i^2x_i^2 \end{eqnarray*}$ und erkenne am Ende, dass $\begin{eqnarray*} E[L]^2 = \sum_{i=1}^n~p_i^2x_i^2 \end{eqnarray*}$ entspricht.

Stimmt das?

23.10.2008, 22:46

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Nein, bitte keine neuen (und dann falschen) algebraischen Umformungsregeln erfinden. Wie wär's denn schlicht und einfach mit der Binomischen Formel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n ~ p_i (x_i-E[L])^2 &=& \sum_{i=1}^n ~ p_i (x_i^2-2x_iE[L]+E[L]^2) = \sum_{i=1}^n ~ p_i x_i^2 ~-~ 2\sum_{i=1}^n ~ p_i x_iE[L] ~+~ \sum_{i=1}^n ~ p_iE[L]^2\\ &=& \left( \sum_{i=1}^n ~ p_i x_i^2 \right) ~-~ 2 \left( \sum_{i=1}^n ~ p_i x_i \right) E[L] ~+~ \left( \sum_{i=1}^n ~ p_i\right) E[L]^2 \end{eqnarray*}$ ,

der letzte Schritt mit der Klammerung dient nur dazu, dir die Augen etwas mehr zu öffnen. Augenzwinkern

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