Kreuzprodukt und Grassmann

22.10.2008, 16:50	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreuzprodukt und Grassmann Hallo, folgendes Problem: Gegeben sind zwei Gleichungen: $\begin{eqnarray} \vec{a} \times \vec{b}=\vec{d} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{a} \cdot \vec{c}=\alpha \end{eqnarray}$ Daraus soll der Vektor $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ bestimmt werden, aber ohne die Vektoren in Komponenten aufzuspalten. Dass soll wohl irgendwie mit Grassmann funktionieren ............... Wie geht man da ran?
22.10.2008, 17:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wende die Grassman-Identität richtig an und du bist fertig: $\begin{eqnarray} \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{c} \cdot \vec{b}) \vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ Bem.: Die skalare Multiplikation ist kommutativ. mY+
22.10.2008, 17:54	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo steckt denn hier aber die Grassmann-Identität? Wo ist denn mein doppeltes Kreuzprodukt?
22.10.2008, 18:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Grassmann-Identität steht vollständig in meinem vorigen Beitrag! Setze für $\begin{eqnarray} \vec{a} \times \vec{b} = \vec{d} \end{eqnarray}$ dann hast mal links den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ weg, und rechts kannst du $\begin{eqnarray} \vec{c} \cdot \vec{a} \end{eqnarray}$ entsprechend ersetzen. Zuletzt nach deinem gesuchten $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ umstellen. mY+
22.10.2008, 18:52	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann habe ich also $\begin{eqnarray} \vec{c} \times \vec{d}= ( \vec{c} \cdot \vec{b}) \vec{a}- \alpha \vec{b} \end{eqnarray}$ Und stelle es dann einfach so $\begin{eqnarray} \frac{\vec{c} \times \vec{d}+ \alpha \vec{b}}{\vec{c} \cdot \vec{b}} =\vec{a} \end{eqnarray}$ um?
22.10.2008, 20:10	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Rein formal ist das richtig. Um zu betonen, dass das Ergebnis ein Vektor ist und sich die skalaren Größen deutlich davon absetzen, könnte man das Resultat als Linearkombination der anderen Vektoren noch so formulieren: $\begin{eqnarray} \vec{a} = \left( \frac{1}{(\vec{c} \cdot \vec{b})} \right) (\vec{c} \times \vec{d}) + \left( \frac{\alpha}{(\vec{c} \cdot \vec{b})} \right) \vec{b} \end{eqnarray}$ mY+
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