Schnittproblem

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maximus Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittproblem
Ich hab folgende Aufgabe:

"Zeigen Sie: In jedem Quader mit quadratischer Grundfläche sind die Raumdiagonalen und eine der Diagonalen der Grundfläche orthogonal."

Ich hab mir dazu eine Skizze angefertigt und mir ist dabei aufgefallen, dass sich die Raumdiagonalen nie mit der Diagonalen der Grundfläche schneiden, wie können die also orthogonal sein???
(Die Aufgabe war so Teil der Abiturarbeit von 1997 in Baden-Würtenberg, hab da so ein Übungsbuch und da stehen auch die Lösungen drin, aber das Ganze ergibt für mich trotzdem keinen Sinn).
Bräuchte möglichst bald Hilfe, da ich am Donnerstag eine Arbeit schreib (12. Mathe-Lk) und des Problem vorher noch lösen will.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
"Zeigen Sie: In jedem Quader mit quadratischer Grundfläche sind die Raumdiagonalen und eine der Diagonalen der Grundfläche orthogonal."

Was für ein beschissener Satz!!! Erstens ist das falsch formuliert. Es heißt nicht "zwei Geraden sind orthogonal", sondern "eine Gerade steht (oder ist) zur anderen orthogonal". Und zweitens stimmt es nicht, dass "die Raumdiagonalen zu einer der Diagonalen der Grundfläche orthogonal sind". Es muss heißen:

Zeigen Sie: In jedem Quader mit quadratischer Grundfläche ist jede der Raumdiagonalen zu einer der Diagonalen der Grundfläche orthogonal.

Nimm dir dazu ein möglichst einfaches Modell. Zum Beispiel reicht es, für das Grundflächenquadrat die Seitenlänge 1 zu wählen. Stelle deinen Quader möglichst einfach in ein Koordinatensystem. Zum Beispiel die Grundfläche in der x-y-Ebene.
Nimm dir weiter nur eine der Raumdiagonalen daher und zeig, dass sie zu einer der Grundflächendiagonalen senkrecht steht. Dass das dann für jede gelten muss, folgt aus Symmetriegründen.
maximus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann ja nix für die seltsame Formulierung, des ist so in diesem Buch geschrieben. Ich hab des so wörtlich abgeschrieben.
Doppelmuffe Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm, ich glaub das geht auch allgemeiner und einfacher:

a,b spannen die grundfläche auf
c : der dritte im bunde

a+b+c : die raumdiagonale
a-b : die andere diagonale

bedingungen:

|a| = |b|
a*b = 0
a*c = 0
b*c = 0

zu zeigen:

(a+b+c)*(a-b) = 0

ausmultiplizieren ... und schon fast fertig.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön. Dabei hast du aber vergessen zu sagen, dass (0,0,0) bei dir eine der unteren Ecken des Quaders ist.
Doppelmuffe Auf diesen Beitrag antworten »

nee, muss glaub' ich nicht sein.
(a, b und c sind keine orts- sondern spannvektoren (die perversen :P ), also praktisch die seiten selbst, nicht die punkte)
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Oder ganz elementar ohne analytische Geometrie:

a sei die Kantenlänge des Quadrates und h die Höhe des Quaders. Man schneide die quadratische Säule auf halber Höhe durch. Aus Symmetriegründen treffen sich im entstehenden Schnittquadrat eine Raumdiagonale und eine Diagonale des Schnittquadrates in der Quadratmitte. Jetzt muß man nur noch überprüfen, ob das Dreieck aus 1. halber Raumdiagonale, 2. halber Quadratdiagonale und 3. der Seitendiagonalen des Rechtecks mit den Seiten a, h/2 rechtwinklig ist. Das geht aber mit dem (Kehr-)Satz des Pythagoras.

Raumdiagonale


Quadratdiagonale


Diagonale halbe Rechtecksfläche



zu überprüfen:



Und diese Überprüfung sei dem Leser als kleine Übungsaufgabe überlassen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Doppelmuffe
nee, muss glaub' ich nicht sein.
(a, b und c sind keine orts- sondern spannvektoren (die perversen :P ), also praktisch die seiten selbst, nicht die punkte)

Das ist aber sehr schwammig. Klar kann man das so machen, aber so ist die Wahrscheinlichkeit, irgendwann mal nen Fehler zu machen sehr groß. In der Mathematik ist üblicherweise ein Vektor x ein Ortsvektor.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist überhaupt nicht schwammig, mein lieber Freund.
Hast du schon einmal etwas vom Konzept eines affinen euklidischen Raumes gehört? Bei solchen Aufgaben, die bezüglich Bewegungen des Raumes invariant sind, ist es der Aufgabe viel angemessener, ohne einen Ursprung zu arbeiten und nur mit den Vektoren, die durch die Punkte der Figur aufgespannt werden.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Das ist überhaupt nicht schwammig, mein lieber Freund.
Hast du schon einmal etwas vom Konzept eines affinen euklidischen Raumes gehört?

Uhhh.... Ich studiere seit 7 Jahren Mathe. Das dürfte reichen, oder? Ich bleibe bei meiner Meinung.
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