Masstheorie & Lebesgue-Integrale

22.10.2008, 17:12

physstud

Masstheorie & Lebesgue-Integrale

Hallo zusammen,

ich sitze gerade an dem Beweis von Aufgabe 2 im Link http://www.math-stat.unibe.ch/lenya/math/live/vorlesungen/grundprogramm/hs08/analysis3-hs08/Analysis3_2008Serie04.pdf

Ich habs jetzt geschafft, wenn die folgende Behauptung gilt:

$\begin{eqnarray*} \mu(A) < \mu(B) \Rightarrow \int_{A} f d\mu < \int_{B} f d\mu \end{eqnarray*}$

Aber ich sehe gerade nicht, ob sie stimmt und wie ich sie beweisen könnte?

22.10.2008, 18:07

physstud

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RE: Masstheorie & Lebesgue-Integrale
Hat nicht jemand irgendeinen kleinen Tipp oder eine Idee? Muss ja nicht gleich eine ganze Antwort sein, ich komme eben nur gerade nicht weiter damit.

22.10.2008, 18:16

WebFritzi

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Setze für $\begin{eqnarray*} A\in\mathfrak M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \nu(A) := \int_A f\,d\mu. \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ ein Maß (zeigen!). Zeige nun zunächst mithilfe von approximierenden einfachen Funktionen, dass

$\begin{eqnarray*} \mu(A) = 0\;\Longrightarrow\;\nu(A)=0 \end{eqnarray*}$

gilt. Dann schau in den Beweis von Behauptung 9.2 in ftp://ftp.math.tu-berlin.de/pub/Lehre/Ma...SS08/skript.pdf .

Ist vielleicht etwas zu kompliziert, da wir mehr Informationen über das Mass $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ haben. Aber ein anderer Weg fällt mit im Moment nicht ein.

EDIT: Bitte drängel nicht so!

22.10.2008, 18:34

physstud

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sorry, aber ich sitze grad die ganze zeit dran, dachte dass vllt jemand einen tipp geben kann, aber keine lösung Augenzwinkern

das ist schon mal gut und dass das ein mass ist, haben wir bereits bewiesen, dh das kann ich anwenden.
edit: dh die behauptung ist korrekt ja?

22.10.2008, 18:45

WebFritzi

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Zitat:

Original von physstud
edit: dh die behauptung ist korrekt ja?

Da kann ich nur Arthur Dent zitieren: "Für wie behämmert hältst du die Aufgabensteller eigentlich?" Augenzwinkern

22.10.2008, 18:58

physstud

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hehe, naja, ich weiss ja nicht, ob mein beweis so stimmt Augenzwinkern

es kann ja sein, dass ich einen falschen weg gehe, da ich mir ein paar sachen zurecht definiert habe. dabei kam halt heraus, dass diese behauptung stimmen muss, damit ich den beweis zu ende führen kann ^^

22.10.2008, 19:14

physstud

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ähm den beweis verstehe ich tatsächlich nich so ganz ^^
da ist ja auch ne übungsaufgabe drin?
also ich hab jetzt alles gezeigt, was ja jetzt letztendlich fehlt ist die stetigkeit von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$

22.10.2008, 19:16

WebFritzi

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Zitat:

Original von physstud
also ich hab jetzt alles gezeigt

Was meinst du mit "alles"?

22.10.2008, 20:24

physstud

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Also, ich schreib jetzt einfach mal meinen ganzen Beweis für die Aufgabe bis jetzt hier rein:

$\begin{eqnarray*} f \in \mathcal{L}_{1} \Rightarrow \int_X f d\mu < \infty, f=|f| \forall x \in X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall E\subset X \end{eqnarray*}$ (alle $\begin{eqnarray*} E\in \mathcal{M} \end{eqnarray*}$ ): $\begin{eqnarray*} \int_{E} f d\mu \leq \int_{X} f d\mu < \infty \end{eqnarray*}$ (in letzter Serie bewiesen)
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig, aber fest:
Nehme $\begin{eqnarray*} \delta=min\{\mu(Q):Q\in B\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B=\{ \min \{ E \subset X: \int_{E} f d\mu \geq \epsilon\}\} \end{eqnarray*}$ (B kann evtl. mehrere Elemente enthalten)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ kleinstes $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ , für dessen $\begin{eqnarray*} C:\int_{C} f d\mu \geq \epsilon \end{eqnarray*}$ (sonst passiert es vllt, dass $\begin{eqnarray*} \exists D\in B:\mu(D)<\mu(B)=\delta \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \int_D f d\mu \geq \epsilon \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} \forall A\in \mathcal{M} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu(A)<\delta: \int_A f d\mu <(?) \int_C f d\mu \geq \epsilon \end{eqnarray*}$
mit der Definition von C folgt dann:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_A f d\mu < \epsilon \end{eqnarray*}$

Also war jetzt nur noch die Behauptung mit dem (?) zu beweisen, nämlich:
$\begin{eqnarray*} \mu(A)<\mu(C)\Rightarrow \int_A f d\mu < \int_C f d\mu \end{eqnarray*}$

Ich wollte jetzt - wie du ja vorgeschlagen hattest - über die einfachen Funktionen, durch die das Lebesgue-Integral von f dann definiert ist, die Behauptung beweisen:
$\begin{eqnarray*} E \subset X: \int_E f d\mu :=\sup\{\int_E s d\mu:s\rightarrow \end{eqnarray*}$ einfach und messbar, $\begin{eqnarray*} 0\leq s\leq f\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_E s d\mu=\nu(E) \rightarrow \end{eqnarray*}$ Mass
$\begin{eqnarray*} \mu(A)=0\Rightarrow \int_A f d\mu \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \int_A s d\mu=0\Rightarrow \nu(A)=0 \end{eqnarray*}$
Das heisst ja soweit, die beiden Masse fangen gleichermassen bei 0 an. Jetzt müssten sie ja nur noch stetig sein, damit das klappt oder?
Aber wie kann ich das nun noch beweisen? Das bei dir im Skript verstehe ich nicht so ganz..

*edit* und wenn was am Beweis nicht stimmt, könnt ihr das natürlich auch sagen Augenzwinkern

22.10.2008, 20:25

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Zitat:

Original von WebFritzi
Da kann ich nur Arthur Dent zitieren: "Für wie behämmert hältst du die Aufgabensteller eigentlich?"

Quellenangabe? Big Laugh