Abbildung

22.10.2008, 18:33

TakeshiCastle

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Abbildung

Es sei $\begin{eqnarray*} f:x\mapsto Y \end{eqnarray*}$ eine Abbildung zwischen Mengen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ . Außerdem seien $\begin{eqnarray*} M\subseteq X \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} N\subseteq Y \end{eqnarray*}$ Teilmengen. Zeige:

1. Stets gilt $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(M))\supseteq M \end{eqnarray*}$ . Gleichheit gilt genau dann für alle $\begin{eqnarray*} M\subseteq X \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist.

Zu 1) Sei $\begin{eqnarray*} m\in M \Rightarrow f(m)\in f(M) \Rightarrow m\in f^{-1}(f(M)) \end{eqnarray*}$
So richtig?

Nun zeige ich die andere Inklusion wofür ich die Information brauche, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist.

Sei $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(f(M))\Rightarrow f(x)\in f(M)\Rightarrow m\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(m) \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist gilt: $\begin{eqnarray*} x=m\Rightarrow x\in X \end{eqnarray*}$
Kann das so richtig sein?

Ich würde mich freuen, wenn sich jemand der Aufgabe widmen könnte.

22.10.2008, 19:09

WebFritzi

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RE: Abbildung

Zitat:

Original von TakeshiCastle
Zu 1) Sei $\begin{eqnarray*} m\in M \Rightarrow f(m)\in f(M) \Rightarrow m\in f^{-1}(f(M)) \end{eqnarray*}$
So richtig?

Ja.

Zitat:

Original von TakeshiCastle
Sei $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(f(M))\Rightarrow f(x)\in f(M)\Rightarrow m\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(m) \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist gilt: $\begin{eqnarray*} x=m\Rightarrow x\in X \end{eqnarray*}$
Kann das so richtig sein?

Nicht ganz. Ich schreib's dir nochmal richtig hin (mit Satzzeichen Augenzwinkern

Augenzwinkern

).

Sei $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(f(M))\Rightarrow f(x)\in f(M)\Rightarrow \exists m\in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(m) \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist, gilt: $\begin{eqnarray*} x=m\Rightarrow x\in M. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von TakeshiCastle
Gleichheit gilt genau dann für alle $\begin{eqnarray*} M\subseteq X \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist.

Du bist also noch nicht fertig...

22.10.2008, 19:27

TakeshiCastle

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RE: Abbildung
Wieso bin ich noch nicht fertig? Ich hab doch beide Richtungen gezeigt, die eine gilt immer und die andere Inklusion gilt nur für den Fall: f injektiv.
Was fehlt noch WebFritzi?

22.10.2008, 19:55

WebFritzi

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"Wenn Gleichheit gilt für alle M, dann ist f injektiv". Das hast du noch nicht gezeigt.

22.10.2008, 19:59

TakeshiCastle

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Da steht aber nichts von "Wenn"
Da steht doch nur "Gleichheit gilt genau dann für alle $\begin{eqnarray*} M\subseteq X \end{eqnarray*}$ , wenn f injektiv ist"
Das heißt ich muss nur zeigen, dass die andere Richtung gilt und nicht dass f injektiv ist.
Oder verstehe ich die Aufgabe falsch?

22.10.2008, 20:03

WebFritzi

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Ja, du verstehst die Aufgabe falsch. Beziehungsweise scheinst du nicht zu wissen, was "genau dann, wenn" bedeutet.

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22.10.2008, 20:15

TakeshiCastle

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Oh Gott, was muss ich denn jetzt tun?

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(M))=M \end{eqnarray*}$ Muss ich zeigen, dass daraus folgt: f injektiv?

22.10.2008, 20:18

WebFritzi

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Nicht ganz. Das soll für ALLE Teilmengen M von X gelten.

22.10.2008, 20:24

TakeshiCastle

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Kannst du mir da einen Denkanstoß geben?

22.10.2008, 20:28

WebFritzi

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Ne, ich muss jetze zum Fussi gucken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.10.2008, 22:30

TakeshiCastle

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unglücklich

unglücklich

dann kann ich das auch nicht und muss das überspringen, hab jetzt die ganze Zeit überlegt, weiß nicht mals wie ich beginnen soll.

Ich gehe mal rüber zur zweiten aufgabe die wie folgt lautet:

2) Untersuche analog den Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(N)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(N))\subseteq N \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} y\in f(f^{-1}(N))\Rightarrow x\in f^{-1}(N)\Rightarrow f(x)=y\in N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(N))\supseteq N \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} y=f(x)\in N \Rightarrow x\Rightarrow f^{-1}(N)\Rightarrow f(x)=y\in f(f^{-1}(N)) \end{eqnarray*}$

Kann das so sein?

23.10.2008, 04:32

WebFritzi

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Zitat:

Original von TakeshiCastle
Sei $\begin{eqnarray*} y\in f(f^{-1}(N))\Rightarrow x\in f^{-1}(N) \end{eqnarray*}$

Was ist denn x?

23.10.2008, 21:49

TakeshiCastle

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Ok neuer Versuch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=y\in f^{-1}(f(N))\Rightarrow f^{-1}(y)\in f^{-1}(N) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \exists n\in N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y)=f^{-1\(n) \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ injektiv gilt: $\begin{eqnarray*} y=n\Rightarrow y\in N \end{eqnarray*}$

So vielleicht?

23.10.2008, 21:51

TakeshiCastle

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Ok neuer Versuch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=y\in f^{-1}(f(N))\Rightarrow f^{-1}(y)\in f^{-1}(N) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \exists n\in N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y)=f^{-1}(n) \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ injektiv gilt: $\begin{eqnarray*} y=n\Rightarrow f(x)=y\in N \end{eqnarray*}$

So vielleicht?

23.10.2008, 22:34

WebFritzi

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Das ist absoluter Unfug.

24.10.2008, 12:53

TakeshiCastle

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Dann versuch doch mal zu helfen, anstatt immer nur zu sagen dass das unfug und schlecht ist. Ich bin doch nicht hier, weil ich das super beherrsche.

24.10.2008, 13:04

klarsoweit

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RE: Abbildung
Wenn ich es richtig sehe, geht es noch darum, daß du folgendes zeigst:

Wenn $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(M)) = M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} M\subseteq X \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv.

Nimm an, daß f nicht injektiv ist. Was würde das bedeuten?

24.10.2008, 13:24

TakeshiCastle

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RE: Abbildung
Ok dann gehen wir noch auf die andere Teilaufgabe zurück: Erstmal danke dir klarsoweit.
Wenn f nicht injektiv ist bedeutet das für $\begin{eqnarray*} x_1\neq x_2\in X \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$
Wie mache ich dann weiter?

24.10.2008, 13:37

Dual Space

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RE: Abbildung

Zitat:

Original von TakeshiCastle
Wenn f nicht injektiv ist bedeutet das für $\begin{eqnarray*} x_1\neq x_2\in X \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$

Nein, denn dann wäre f schon konstant. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.10.2008, 13:45

klarsoweit

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RE: Abbildung

Zitat:

Original von TakeshiCastle
Wenn f nicht injektiv ist bedeutet das für $\begin{eqnarray*} x_1\neq x_2\in X \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$

Man sollte immer präzise formulieren:
Wenn f nicht injektiv ist, dann gibt es Elemente $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) \end{eqnarray*}$ .

Setze M := {x_1}. Was ist dann $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(M)) \end{eqnarray*}$ ?

24.10.2008, 13:52

TakeshiCastle

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RE: Abbildung
Wenn ich $\begin{eqnarray*} M:=\{x_1\} \end{eqnarray*}$ setze erhalte ich:

Dann ist $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(M))\supseteq f^{-1}(f(x_1)) \end{eqnarray*}$
Beziehungsweise: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(M))=\{x_1|x_1\in M, f(x_1)\in Y\} \end{eqnarray*}$

24.10.2008, 14:08

klarsoweit

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RE: Abbildung
Das ist Unfug. Welche Elemente muß die Menge $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(M)) \end{eqnarray*}$ wenigstens beinhalten? Liste dazu erstmal die Menge $\begin{eqnarray*} f(M) \end{eqnarray*}$ auf.

24.10.2008, 14:11

TakeshiCastle

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RE: Abbildung
Ohh man was mache ich denn falsch?
Woher weiß ich denn was $\begin{eqnarray*} f(M) \end{eqnarray*}$ ist?
Gilt nicht: $\begin{eqnarray*} f(M)=f(\{x_1\}) \end{eqnarray*}$ ?
Woher weiß ich was die Elemente davon sind?

24.10.2008, 14:23

WebFritzi

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Wozu Widerspruch? Sei f(x) = f(y). Setze M = {x}.

@Takeshi: Ich finde es etwas unverschämt von dir, mir zu unterstellen, ich würde dir nicht helfen. Selbst wenn ich schreibe, dass du Unfug geschrieben hast, ist dir schon geholfen, denn du weißt, dass es falsch ist. Außerdem habe ich dir davor schon ne Menge geholfen. Also bitte lass sowas. Danke.

24.10.2008, 14:26

TakeshiCastle

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Ich kenne aus der Schule noch mit setze, dass man für M={x} setzen soll:
Also $\begin{eqnarray*} f(x)=f(\{x\} \end{eqnarray*}$ oder? Was habe ich nun davon?

24.10.2008, 14:46

klarsoweit

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RE: Abbildung

Zitat:

Original von TakeshiCastle
Woher weiß ich denn was $\begin{eqnarray*} f(M) \end{eqnarray*}$ ist?
Gilt nicht: $\begin{eqnarray*} f(M)=f(\{x_1\}) \end{eqnarray*}$ ?

Und welche Funktionswerte bekommst du bei der Bildung von $\begin{eqnarray*} f(\{x_1\}) \end{eqnarray*}$ ?

@WebFritzi: ich mag nun mal Widerspruchsbeweise. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.10.2008, 14:51

TakeshiCastle

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RE: Abbildung
$\begin{eqnarray*} f(\{x_1\})=\{y_1\} \end{eqnarray*}$ was anderes fällt mir grade nicht ein.

24.10.2008, 15:06

WebFritzi

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RE: Abbildung

Zitat:

Original von klarsoweit
@WebFritzi: ich mag nun mal Widerspruchsbeweise. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich auch. Aber ich finde, man sollte sie nur da einsetzen, wo sie wirklich gebraucht werden. Ist aber halt Geschmackssache. Augenzwinkern

Augenzwinkern

@Takeschi: Nimm mal meinen Beitrag. Liegt dann y in $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(M)) \end{eqnarray*}$ ?

24.10.2008, 15:17

TakeshiCastle

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RE: Abbildung
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(M))=f^{-1}({y_1}) \end{eqnarray*}$
Nein dann liegt doch y nicht da drinn oder?
Also ich bin total überfordert, ich kann eure Gedanken nicht mitverfolgen, worauf ihr hinauswollt.

24.10.2008, 16:30

TakeshiCastle

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RE: Abbildung
Also ich versuche es Mal nochmal:

Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ Setze $\begin{eqnarray*} M:=\{x_1\} \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} f(\{x_1\}=\{y_1\} \end{eqnarray*}$ , da M nur das Element $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ enthält und somit maximal nur ein Bild hat, folgt aus $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y)\Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$ . Somit ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv.

24.10.2008, 20:19

WebFritzi

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Verstehst du selber, was du da so schreibst? Ich nicht. Lass doch mal bitte jetzt die Indizes. Wir haben nur x und y, ok? Das sollen beides Elemente aus X sein. Und wir setzen voraus, dass f(x) = f(y) gilt. Nun setzen wir M := {x}. Zeige nun dass y in $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(M)) \end{eqnarray*}$ liegt. Dann verwende die Annahme, um x = y zu zeigen.

24.10.2008, 21:55

TakeshiCastle

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Anscheinend bin ich sehr schwer von Begriff... wie meinst du das Setze M={x}?
ALso Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(M))=f^{-1}(\{x\}) \end{eqnarray*}$ und jetzt? wie zeige ich hier draus, dass y auch da drinn liegt?

24.10.2008, 21:59

WebFritzi

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Zitat:

Original von TakeshiCastle
Anscheinend bin ich sehr schwer von Begriff... wie meinst du das Setze M={x}?

Es faellt mir schwer, das noch zu erklaeren. "Setze M = {x}" bedeutet "Definiere M := {x}". Also M soll die Menge sein, die nur x als Element enthaelt.

Dein Rest war wieder Unsinn.

24.10.2008, 22:24

TakeshiCastle

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Ja wenn die Menge M nur das Element x beinhaltet, dann ist bei $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} x,y\in M \end{eqnarray*}$ , da aber $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nur das Element $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hat, muss doch $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ gelten oder nicht?
Aber wie zeige ich das?

24.10.2008, 22:54

TakeshiCastle

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Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ . Setze $\begin{eqnarray*} M:=\{x\} \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(f(M))\Rightarrow f(x)=f(y)\in f(M)\Rightarrow y\in f^{-1}(f(M)) \Rightarrow y\in f^{-1}(f(\{x\}) \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} M:=\{x\} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ .
Ich wette das ist wieder nur Unsinn.

Kannst du Mal eine Aufgabe zeigen die ähnlich ist und so den Ablauf zeigen?

25.10.2008, 00:34

WebFritzi

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Da steht eine Menge Unsinn, aber auch wahres. Auf jeden Fall besser. Wieso fängst du an mit "Sei $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(f(M)) \end{eqnarray*}$ " ? Das ist doch sowieso schon so. Mit "Sei..." läutet man immer eine Annahme oder Bedingung ein. Das hier ist aber keine Annahme, sondern folgt direkt aus M = {x}.

Ich möchte jetzt, dass wir in kleinen Schritten gehen, und dass jeder Schritt begründet wird. Wir haben

(a) $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(L)) = L \end{eqnarray*}$ für jede Teilmenge L von X
(b) $\begin{eqnarray*} x,y\in X \end{eqnarray*}$
(c) f(x) = f(y)
(d) M = {x}

Wir wollen zeigen: x = y.

Dazu wollte ich, dass du zuerst zeigst, dass $\begin{eqnarray*} y\in f^{-1}(f(M)) \end{eqnarray*}$ gilt.
Das versuchst du jetzt mal bitte. Und begründe jeden Schritt mit den Punkten (a)-(d).

25.10.2008, 20:26

TakeshiCastle

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Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ , wegen $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(M))=M \end{eqnarray*}$ für jede Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M:=\{x\} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(f(M))\Rightarrow f(x)\in f(M) \end{eqnarray*}$ . Somit folgt wegen $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y)\Rightarrow f(y)\in f(M)\Rightarrow y\in f^{-1}(f(M)) \end{eqnarray*}$

Lass mich raten, wieder nur Unsinn.

26.10.2008, 18:33

TakeshiCastle

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Kann sich das eventuell jemand angucken?

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