PDGL, AW/RW-Problem

28.07.2006, 12:06

Wurstfred

PDGL, AW/RW-Problem

Hallo!

die Gleichung $\begin{eqnarray*} {u_t}(1+t)=u_xx \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} u(x,0)=2-sin(\frac{x}{2})+3cos(2x) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} u_x(-\pi,t)=u_x(\pi,t)=0 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} {-\pi}\leq{x}\leq{\pi} \end{eqnarray*}$

führt mich auf

$\begin{eqnarray*} u(x,t)=ae^{-\frac{\lambda{t}}{1+t}}(c\cos(\sqrt{\lambda}x)+d\sin(\sqrt{\lambda}x)) \end{eqnarray*}$

Irgendwie bekomme ich keine Koeffizienten heraus. Die Randbedingung wird sowohl für c = 0 -> $\begin{eqnarray*} \sqrt{\lambda}=\frac{2n-1}{2} \end{eqnarray*}$

als auch für d = 0 -> $\begin{eqnarray*} \sqrt{\lambda}=n \end{eqnarray*}$

Wie ist weiter vorzugehen? Soll ich beide Fälle unterscheiden und jeweils eine Fourierentwicklung für die Koeffizienten durchführen? Und dann? Oder anders?

Ich bitte um Hilfe smile

29.07.2006, 21:53

Abakus

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RE: PDGL, AW/RW-Problem

Zitat:

Original von Wurstfred
... führt mich auf

$\begin{eqnarray*} u(x,t)=ae^{-\frac{\lambda{t}}{1+t}}(c\cos(\sqrt{\lambda}x)+d\sin(\sqrt{\lambda}x)) \end{eqnarray*}$

Erstmal hierzu gefragt: wie kommst du auf diesen Ansatz ? Ist der irgendwie speziell vorgegeben oder hast du den errechnet ? (wenn ja, wie ?)

Grüße Abakus smile

30.07.2006, 11:59

Wurstfred

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mmh
merk grad, da ist ein fehler in der ersten gleichung. es muss heißen

$\begin{eqnarray*} {u_t}(1+t)=u_{xx} \end{eqnarray*}$

ich verwende den Ansatz

$\begin{eqnarray*} u(x,t)=X(x)T(t) \end{eqnarray*}$

dieser führt mich auf das Eigenwertproblem

$\begin{eqnarray*} (1+t)\frac{T'}{T} =-{\lambda}=\frac{X''}{X} \end{eqnarray*}$

30.07.2006, 17:25

Abakus

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RE: mmh

Zitat:

Original von Wurstfred
merk grad, da ist ein fehler in der ersten gleichung. es muss heißen

$\begin{eqnarray*} {u_t}(1+t)=u_{xx} \end{eqnarray*}$

, das ist was völlig anderes und dein Ansatz macht dann Sinn.

Zitat:

ich verwende den Ansatz

$\begin{eqnarray*} u(x,t)=X(x)T(t) \end{eqnarray*}$

dieser führt mich auf das Eigenwertproblem

$\begin{eqnarray*} (1+t)\frac{T'}{T} =-{\lambda}=\frac{X''}{X} \end{eqnarray*}$

Wieso nimmst du $\begin{eqnarray*} -\lambda \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ? Jedenfalls müsstest du auf folgendes kommen:

$\begin{eqnarray*} T(t) = A \cdot (1 + t)^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

bzw. (Trivialfall)

$\begin{eqnarray*} T(t) = A \end{eqnarray*}$

und:

$\begin{eqnarray*} X(x) = B \cdot cos (\sqrt{\lambda}\cdot x) + C \cdot \sin( \sqrt{\lambda}\cdot x) \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} X(x) = B \cdot e^{\sqrt{-\lambda}\cdot x} + C \cdot e^{ -\sqrt{-\lambda}\cdot x} \end{eqnarray*}$

bzw. (Trivialfall)

$\begin{eqnarray*} X(x) = B + C \cdot x \end{eqnarray*}$

Du bist hier erstmal nur an periodischen Lösungen interessiert, ok. Daraus ergibt sich jedenfalls dein Ansatz dann.

Grüße Abakus smile

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