Binomischer Lehrsatz

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22.10.2008, 19:20	bigman05	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomischer Lehrsatz Hallo, ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich nicht richtig zum Start komme. Sie lautet folgendermaßen: Zeigen Sie, dass die folgende Summenformel für alle Zahlen n $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~(-1)^k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = 0 Hinweis: Sie können dabei den Binomischen Lehrsatz verwenden. Ich hoffe Ihr könnt mir helfen... Gruß bigman05
22.10.2008, 19:26	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binomischer Lehrsatz Schreib dir mal den binomischen Lehrsatz auf und probiere mal, deine Zahlen a und b etwas zu modifizieren, so dass auf der Seite mit (a+b)^n gerade Null steht. Der Beweis ist eigentlich recht einfach für eine spezielle Wahl von a und b.
22.10.2008, 19:41	bigman05	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binomischer Lehrsatz mein Problem ist, dass ich so was bisher noch nicht gerechnet habe, es aber trotzdem gerne lernen möchte. ich kenne folgende binomischen Lehrsätze: 1. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} = 1 = \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Leider weiß ich nicht was ich benutzen soll, geschweige denn, was ich überhaupt hier machen soll...
22.10.2008, 19:44	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binomischer Lehrsatz Wenn der Hinweis angegeben ist, dann solltet ihr den Satz doch schon gehabt haben Schau mal unter Binomischer Lehrsatz, z.B. hier nach. Was du notiert hast, sind Rechenregeln für den Binomialkoeffizienten. Wird meistens vorher abgehandelt, damit man diese dann im Beweis nutzen kann. Oder ihr behandelt den Satz noch in der Vorlesung...
22.10.2008, 20:34	bigman05	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Fehler. Ich habe den Binomischen Lehrsatz genau so vor mir wie er in dem Link steht. Ich habe mal den ersten Schritt versucht. Ich habe noch eine allgemeine Frage dazu. Was ist das Prinzip hier? Was genau ist das, was ich mache? Eine Induktion oder ein einfacher Beweis? Zur Rechnung: (a-1)^n = $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~(-1)^k \end{eqnarray}$ * a^(n-k) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (1-1)^n = $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~(-1)^k \end{eqnarray}$ * (-1)^k * 1^(n-k) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich hoffe das stimmt so weit. Wie würde es denn weitergehen?
22.10.2008, 20:38	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist keine Induktion... Und was soll ein einfacher Beweis sein? Du nimmst den binomischen Lehrsatz als bekannten Satz. Der ist ja bereits bewiesen. Deine Behauptung ist nur ein Spezialfall des Satzes für spezielle Wahl von a und b. D.h. dein Beweis könnte so aussehen: Wähle a=1 und b=-1. Dann gilt: ... Und damit die Behauptung. Fertig. Übrigens hast du da ein paar kleine Fehler in deiner Formel oben..
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22.10.2008, 20:55	bigman05	Auf diesen Beitrag antworten »
a=1 und b=-1 habe ich ausgewählt: (1-1)^n = $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~(-1)^k \end{eqnarray}$ * 1^(n-k) * $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ jetzt k=0 einsetzen? wenn ja... 0 = $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~(-1)^0 \end{eqnarray}$ * 1^(n-0) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 0 = $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~0 \end{eqnarray}$ * 1 ^ (n-0) * 1 0=0 bin ich jetzt fertig? muss ich jetzt nicht noch das "n" vom summenzeichen in meine rechnung einbeziehen?
22.10.2008, 21:02	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum willst du denn k=0 setzen??? Es steht doch schon alles da, was du haben willst. Binomischer Lehrsatz: $\begin{eqnarray} (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom n k a^{n-k}b^k \end{eqnarray}$ Setze nun $\begin{eqnarray} a=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=-1 \end{eqnarray}$ . Dann ist: $\begin{eqnarray} 0=(1-1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom n k 1^{n-k}(-1)^k \end{eqnarray}$ Weil aber $\begin{eqnarray} 1^{n-k}=1 \end{eqnarray}$ ist, folgt: $\begin{eqnarray} 0=\sum_{k=0}^{n}\binom n k (-1)^k \end{eqnarray}$
22.10.2008, 21:08	bigman05	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre die Rechnung damit beendet? Wieso ist 1^(n-k) = 1?
22.10.2008, 21:10	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh je, was studierst du denn??? Es ist doch $\begin{eqnarray} 1^n=1\cdot 1\cdot 1\ldots\cdot 1 \end{eqnarray}$ mit n mal der 1...
22.10.2008, 21:16	bigman05	Auf diesen Beitrag antworten »
dann hast du also k=0 gesetzt? vorhin hast du nämlich gefragt, wieso ich k=0 setzen will
22.10.2008, 21:18	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh Mann... Ich habe nicht k=0 gesetzt. k ist doch der Laufindex der Summe. Es ist doch egal, es ist auch $\begin{eqnarray} 1^{n-k}=1. \end{eqnarray}$ Jetzt denke bitte mal selbst nach langsam.

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